қазақша
русскийМатематикадан жасөспірімдер арасындағы 8-ші Балкан олимпиадасы 2004 жыл, Нови Сад Югославия
Есеп №1. Бір мезетте екеуі де нөлге тең болмайтын кез келген $x$ және $y$ нақты сандары үшін $ \dfrac{ x+y}{x^2-xy+y^2 } \leq \dfrac{ 2\sqrt 2 }{\sqrt{ x^2 +y^2 } } $ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. Қабырғалары $AC=BC$ болатын теңбүйірлі $ABC$ үшбұрышы берілген. $M$ — $AC$ қабырғасының ортасы, $Z$ түзуі $AB$ кесіндісінің орта перпендикуляры. $B$, $C$ және $M$ нүктелері арқылы өтетін шеңбер $Z$ түзуін $C$ және $Q$ нүктелерінде қияды. Егер $ CQ$ кесіндісі $m$-ға тең болса, $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңыздар.
комментарий/решение(8)
комментарий/решение(8)
Есеп №3. $3x + 4y$ және $4x + 3y$ сандары бір мезетте толық квадрат болатындай $x$ және $y$ натурал сандары берілген. $x$ және $y$ сандарының әрбірі 7-ге бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Дөңес $n$-бұрышты қарастырайық $(n \geq 4)$. Төбелері көпбұрыш төбесі болатын және ешбір екі үшбұрыш қиылыспайтындай көпбұрышты кез келген түрде үшбұрыштарда бөлеміз. Екі қабырғасы көпбұрыш қабырғасы болатын үшбұрыштарды қара түске бояймыз; ал тек бір ғана қабырғасы көпбұрыштың қабырғасы болса қызыл түске бояймыз; ешбір қабырғасы көпбұрыштың қабырғасы болмаса ақ түске бояймыз.
Қара үшбұрыштар саны ақ үшбұрыштар санынан екіге көп екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Қара үшбұрыштар саны ақ үшбұрыштар санынан екіге көп екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)