Математикадан жасөспірімдер арасындағы 8-ші Балкан олимпиадасы 2004 жыл, Нови Сад Югославия

Есеп №1. Бір мезетте екеуі де нөлге тең болмайтын кез келген

$x$ және

$y$ нақты сандары үшін

$\dfrac{ x+y}{x^2-xy+y^2 } \leq \dfrac{ 2\sqrt 2 }{\sqrt{ x^2 +y^2 } }$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Қабырғалары

$AC=BC$ болатын теңбүйірлі

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$M$ —

$AC$ қабырғасының ортасы,

$Z$ түзуі

$AB$ кесіндісінің орта перпендикуляры.

$B$ ,

$C$ және

$M$ нүктелері арқылы өтетін шеңбер

$Z$ түзуін

$C$ және

$Q$ нүктелерінде қияды. Егер

$CQ$ кесіндісі

$m$ -ға тең болса,

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңыздар.
комментарий/решение(8)

Есеп №3.

$3x + 4y$ және

$4x + 3y$ сандары бір мезетте толық квадрат болатындай

$x$ және

$y$ натурал сандары берілген.

$x$ және

$y$ сандарының әрбірі 7-ге бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Дөңес

$n$ -бұрышты қарастырайық

$(n \geq 4)$ . Төбелері көпбұрыш төбесі болатын және ешбір екі үшбұрыш қиылыспайтындай көпбұрышты кез келген түрде үшбұрыштарда бөлеміз. Екі қабырғасы көпбұрыш қабырғасы болатын үшбұрыштарды қара түске бояймыз; ал тек бір ғана қабырғасы көпбұрыштың қабырғасы болса қызыл түске бояймыз; ешбір қабырғасы көпбұрыштың қабырғасы болмаса ақ түске бояймыз.
Қара үшбұрыштар саны ақ үшбұрыштар санынан екіге көп екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)