8-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Нови-Сад, Югославия, 2004 год
Комментарий/решение:
$$(x-y)^2 \geq 0 \Rightarrow x^2+y^2-2xy\geq 0\Rightarrow x^2+y^2\geq 2xy \Rightarrow$$
$$\Rightarrow 2(x^2+y^2)\geq x^2+y^2+2xy \Rightarrow 2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2 \Rightarrow \sqrt{2(x^2+y^2)} \geq x+y$$
$$ (x-y)^2 \geq 0 \Rightarrow \frac{x^2+y^2}{2} \leq x^2-xy+y^2$$
$$\sqrt{2(x^2+y^2)} (x^2-xy+y^2)\geq (x+y)\cdot \frac{x^2+y^2}{2}\Rightarrow$$
$$\Rightarrow \frac{x+y}{x^2-xy+y^2} \leq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
$4(x^2-xy+y^2)^2 \geq (x^2+y^2)^2;$ $(1)$
$2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2.$ $(2)$
Доказательство первого: берем из под корня обе части, получаем, что $x^2+y^2 \geq 2xy$, что верно.
Доказательство второго исходит из неравенства КБШ.
Произведение этих неравенств дает требуемое
$\dfrac{ x+y}{x^2-xy+y^2 } \leq \dfrac{ 2\sqrt 2 }{\sqrt{ x^2 +y^2 } }\iff 2(x^2-xy+y^2)\ge (x+y)\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$
$2(x^2-xy+y^2)=\frac{(x+y)^2}{4}+\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{5(x-y)^2}{4}\ge$
$\ge \frac{(x+y)^2}{4}+\frac{x^2+y^2}{2} \ge 2 \sqrt{\frac{(x+y)^2}{4}\cdot\frac{x^2+y^2}{2}}=(x+y)\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.