8-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Нови-Сад, Югославия, 2004 год

Для любых действительных чисел $x$ и $y$, не равных одновременно нулю, докажите неравенство $ \dfrac{ x+y}{x^2-xy+y^2 } \leq \dfrac{ 2\sqrt 2 }{\sqrt{ x^2 +y^2 } } .$

Комментарий/решение

$$(x-y)^2 \geq 0 \Rightarrow x^2+y^2-2xy\geq 0\Rightarrow x^2+y^2\geq 2xy \Rightarrow$$

$$\Rightarrow 2(x^2+y^2)\geq x^2+y^2+2xy \Rightarrow 2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2 \Rightarrow \sqrt{2(x^2+y^2)} \geq x+y$$

$$ (x-y)^2 \geq 0 \Rightarrow \frac{x^2+y^2}{2} \leq x^2-xy+y^2$$

$$\sqrt{2(x^2+y^2)} (x^2-xy+y^2)\geq (x+y)\cdot \frac{x^2+y^2}{2}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \frac{x+y}{x^2-xy+y^2} \leq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

$4(x^2-xy+y^2)^2 \geq (x^2+y^2)^2;$ $(1)$

$2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2.$ $(2)$

Доказательство первого: берем из под корня обе части, получаем, что $x^2+y^2 \geq 2xy$, что верно.

Доказательство второго исходит из неравенства КБШ.

Произведение этих неравенств дает требуемое

$\dfrac{ x+y}{x^2-xy+y^2 } \leq \dfrac{ 2\sqrt 2 }{\sqrt{ x^2 +y^2 } }\iff 2(x^2-xy+y^2)\ge (x+y)\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$

$2(x^2-xy+y^2)=\frac{(x+y)^2}{4}+\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{5(x-y)^2}{4}\ge$

$\ge \frac{(x+y)^2}{4}+\frac{x^2+y^2}{2} \ge 2 \sqrt{\frac{(x+y)^2}{4}\cdot\frac{x^2+y^2}{2}}=(x+y)\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$

$$\dfrac{x+y}{x^2-xy+y^2}\le \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+y^2}} \longleftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}(x+y)}{2}\le \sqrt{x^2+y^2}\le \dfrac{2(x^2-xy+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}} \leftrightarrow 2x^2+2y^2-2xy\ge x^2+y^2+2xy-2xy=x^2+y^2=\sqrt{x^2+y^2}^2$$