8-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Нови-Сад, Югославия, 2004 год
Задача №1. Для любых действительных чисел x и y, не равных одновременно нулю, докажите неравенство x+yx2−xy+y2≤2√2√x2+y2.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №2. Дан равнобедренный треугольник ABC со сторонами AC=BC. Точка M — середина стороны AC, а прямая Z — серединный перпендикуляр отрезка AB. Окружность, проходящая через точки B, C и M, пересекает прямую Z в точках C и Q. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC, выразив её через длину отрезка CQ равную m.
комментарий/решение(8)
комментарий/решение(8)
Задача №3. Натуральные числа x и y таковы, что оба числа 3x+4y и 4x+3y одновременно являются полными квадратами. Докажите, что каждое из чисел x и y делится на 7.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Рассмотрим выпуклый n-угольник (n≥4). Разобьём многоугольник произвольным образом на треугольники так, что их вершины являются вершинами многоугольника, и любые два треугольника не пересекаются. Покрасим в чёрный цвет те треугольники, у которых две стороны являются сторонами многоугольника; в красный цвет — те треугольники, у которых только одна сторона является стороной многоугольника; в белый цвет — те треугольники, у которых стороны не являются сторонами многоугольника.
Докажите, что чёрных треугольников да два больше чем белых.
комментарий/решение(1)
Докажите, что чёрных треугольников да два больше чем белых.
комментарий/решение(1)