Processing math: 100%

8-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Нови-Сад, Югославия, 2004 год


Дан равнобедренный треугольник ABC со сторонами AC=BC. Точка M — середина стороны AC, а прямая Z — серединный перпендикуляр отрезка AB. Окружность, проходящая через точки B, C и M, пересекает прямую Z в точках C и Q. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC, выразив её через длину отрезка CQ равную m.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   5
3 года 6 месяца назад #

Ответ: RABC=23m

1) ABC равнобедренный, ABC=BAC

2)В силу того, что Z серединный перпендикуляр, имеем

ADC=BDC (DC общая сторона, AD=DB;ADC=BDC=90ACD=BCD)

3) По условию точки C,M,Q,B лежат на одной окружности, значит CMQB вписанный

4) MCQ=MBQ как опирающиеся на дугу MQ

QCB=QMB как опирающиеся на дугу QB

5) Из (2),(4) имеем QMB=QBMQBM равнобедренный, значит MQ=QB

6)После факта (5) приступим к координатному методу решения. Система координат показана на рисунке. Координаты основных точек: A(a;0);B(a;0);C(0;b);D(0;0)

7) Так как AM=MC (по условию), то найдём координаты точки M

XM=XA+XC2=a2;YM=YA+YC2=b2 Итого M(a2;b2)

8) Найдём радиус ABC как функцию от a и b

RABC=ABBCAC4SABC

9) SABC=ABCD12;AB=2a;CD=bSABC=2ab12=ab

10) ABBCAC=2aa2+b2a2+b2=2a(a2+b2)

11) RABC=2a(a2+b2)4ab=a2+b22b

12)Из (5) имеем QM=QB. Так как QZ, то XQ=0. Остаётся найти координату YQ. QM=QBQM2=QB2(XQXM)2+(YQYM)2=(XQXB)2+(YQYB)2 (0a2)2+(YQb2)2=(0a)2+(YQ0)2 a24+Y2Q2YQb2+b24=a2+Y2Q YQ=b43a24b

13) CQ=m=YCYQ=b(b43a24b)=34a2+b2b

14)RABCm=a2+b22b34a2+b2b=1234=23

15)Итог: RABC=23m

  6
2 года 11 месяца назад #

чел харош

  1
2 года 11 месяца назад #

Чел хвалит решение через координаты когда внизу стоит хорошее решение через построение

  6
2 года 11 месяца назад #

Abensad, согласен с вами! Чисто геометрические решения - это красиво, здорово, и круто. Но решение в координатах тоже по своему красивы - они брутально просты. Нужно всего лишь знать алгебру на уровне 7-8 класса, и еще по мелочи. Но при этом, взламываются задачи серьезного уровня.

  0
2 года 11 месяца назад #

hacker

  0
2 года 11 месяца назад #

Интересно, кто пробустил лайки "1234567". Я не завидую, мне тоже так бустили. Я не люблю когда так делают, потому что это убивает мотивацию у тех кто правда старается и пишет решение (ASDF, Matov, YaTop), а их не оценивают. Нужно скорее всего сделать на сайте какие-то ограничения на поставление лайков за день, например, 5.

  1
2 года 11 месяца назад #

Согласен, был очень удивлён, что на крутили баллы. Кто-то сделал эту ерунду, а подумают на меня. Это удар по моей репутации, потому что мне не важно, есть у меня баллы или нет. Начинал выкладывать решения ещё тогда, когда на матоле не было системы баллов (лайков)

  8
4 года 6 месяца назад #

Проведя серединный перпендикуляр l к BC который пересекает BC в точке F и lCQ в точке D или центр описанной окружности ABC, так как MQ=BQ но BQ=AQ тогда QAF=AFQ=QMB=QCB=MCD=DAC то есть MQD=MBC=MAF=QAD пусть MDMQH из треугольника MAQ получается HQ=AQsinQAH,   MH=AMsinHAM но так как CM=AM, AMQ и учитывая что DA=DC, откуда MH=HQ по теореме Менелая для треугольника CMQ и секущей AD откуда CD=2DQ или CQ=2m3 .