8-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Нови-Сад, Югославия, 2004 год
Комментарий/решение:
Ответ: R△ABC=23⋅m
1) △ABC− равнобедренный, →∠ABC=∠BAC
2)В силу того, что Z− серединный перпендикуляр, имеем
△ADC=△BDC (DC− общая сторона, AD=DB;∠ADC=∠BDC=90∘→∠ACD=∠BCD)
3) По условию точки C,M,Q,B лежат на одной окружности, значит CMQB− вписанный
4) ∠MCQ=∠MBQ как опирающиеся на дугу MQ
∠QCB=∠QMB как опирающиеся на дугу QB
5) Из (2),(4) имеем ∠QMB=∠QBM→△QBM− равнобедренный, значит MQ=QB
6)После факта (5) приступим к координатному методу решения. Система координат показана на рисунке. Координаты основных точек: A(−a;0);B(a;0);C(0;b);D(0;0)
7) Так как AM=MC (по условию), то найдём координаты точки M
XM=XA+XC2=−a2;YM=YA+YC2=b2 Итого M(−a2;b2)
8) Найдём радиус △ABC как функцию от a и b
R△ABC=AB⋅BC⋅AC4S△ABC
9) S△ABC=AB⋅CD⋅12;AB=2a;CD=b→S△ABC=2a⋅b⋅12=ab
10) AB⋅BC⋅AC=2a⋅√a2+b2⋅√a2+b2=2a(a2+b2)
11) R△ABC=2a(a2+b2)4ab=a2+b22b
12)Из (5) имеем QM=QB. Так как Q∈Z, то XQ=0. Остаётся найти координату YQ. QM=QB→QM2=QB2→(XQ−XM)2+(YQ−YM)2=(XQ−XB)2+(YQ−YB)2 (0−a2)2+(YQ−b2)2=(0−a)2+(YQ−0)2 a24+Y2Q−2⋅YQ⋅b2+b24=a2+Y2Q YQ=b4−3a24b
13) CQ=m=YC−YQ=b−(b4−3a24b)=34⋅a2+b2b
14)R△ABCm=a2+b22b34⋅a2+b2b=1234=23
15)Итог: R△ABC=23⋅m
Abensad, согласен с вами! Чисто геометрические решения - это красиво, здорово, и круто. Но решение в координатах тоже по своему красивы - они брутально просты. Нужно всего лишь знать алгебру на уровне 7-8 класса, и еще по мелочи. Но при этом, взламываются задачи серьезного уровня.
Интересно, кто пробустил лайки "1234567". Я не завидую, мне тоже так бустили. Я не люблю когда так делают, потому что это убивает мотивацию у тех кто правда старается и пишет решение (ASDF, Matov, YaTop), а их не оценивают. Нужно скорее всего сделать на сайте какие-то ограничения на поставление лайков за день, например, 5.
Проведя серединный перпендикуляр l к BC который пересекает BC в точке F и l∩CQ в точке D или центр описанной окружности ABC, так как MQ=BQ но BQ=AQ тогда ∠QAF=∠AFQ=∠QMB=∠QCB=∠MCD=∠DAC то есть ∠MQD=∠MBC=∠MAF=∠QAD пусть MD∩MQ∈H из треугольника MAQ получается HQ=AQ⋅sin∠QAH, MH=AM⋅sin∠HAM но так как CM=AM, AMQ и учитывая что DA=DC, откуда MH=HQ по теореме Менелая для треугольника CMQ и секущей AD откуда CD=2DQ или CQ=2m3 .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.