Математикадан 32-ші Балкан олимпиадасы, Афины, Греция, 2015 жыл

Есеп №1. $a,b,c$ — оң нақты сандар болсын. ${a^3}{b^6} + {b^3}{c^6} + {c^3}{a^6} + 3{a^3}{b^3}{c^3} \geqslant abc\left( {{a^3}{b^3} + {b^3}{c^3} + {c^3}{a^3}} \right) + {a^2}{b^2}{c^2}\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. Қабырғалары әр түрлі сүйірбұрышты $ ABC $ үшбұрышында $I$ нүктесі іштей сызылған шеңбердің центрі, ал $\omega$ шеңбері сырттай сызылған шеңбер. $AI$, $BI$ және $CI$ түзулері екінші рет $\omega$ шеңберін сәйкесінше $D$, $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $I$ нүктесі арқылы өтетін және $BC$, $AC$, $AB$ қабырғаларына параллель түзулер $EF$, $DF$, $DE$ түзулерін сәйкесінше $K$, $L$, $M$ нүктелерінде қияды. $K$, $L$, $M$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. $3366$ кино сыншысынан тұратын комиссия Оскар үшін дауыс береді. Әрбір кино сыншысы тек бір актерға және тек бір актрисаға дауыс берді. Дауыс беруден кейін, $\left \{1, 2, \ldots, 100 \right \}$ жиынынан алынған әрбір $n$ натурал саны үшін дәл $n$ дауыс алған актер немесе актриса табылатыны анық болды. Екеуі де бір актерге дауыс берген және екеуі де бір актрисаға дауыс берген екі кино сыншысы табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---

Есеп №4. Әрбір $n$ натурал саны үшін кез келген қатар тұрған натурал 20 санның ішінде келесі теңсіздік орындалатындай $d$ натурал саны табылатынын дәлелдеңіздер: $n\sqrt d \left\{ {n\sqrt d } \right\} > \dfrac{5}{2},$ мұндағы, $\{x\}$ —$x$ нақты санының бөлшек бөлігі, $\{x\} = x - [x]$, ал $[x]$ —$x$ нақты санының бүтін бөлігі, яғни $x$-тен аспайтын ең үлкен бүтін сан.
комментарий/решение

---