Математикадан 32-ші Балкан олимпиадасы, Афины, Греция, 2015 жыл

Есеп №1.

$a,b,c$ — оң нақты сандар болсын.

${a^3}{b^6} + {b^3}{c^6} + {c^3}{a^6} + 3{a^3}{b^3}{c^3} \geqslant abc\left( {{a^3}{b^3} + {b^3}{c^3} + {c^3}{a^3}} \right) + {a^2}{b^2}{c^2}\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Қабырғалары әр түрлі сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышында

$I$ нүктесі іштей сызылған шеңбердің центрі, ал

$\omega$ шеңбері сырттай сызылған шеңбер.

$AI$ ,

$BI$ және

$CI$ түзулері екінші рет

$\omega$ шеңберін сәйкесінше

$D$ ,

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$I$ нүктесі арқылы өтетін және

$BC$ ,

$AC$ ,

$AB$ қабырғаларына параллель түзулер

$EF$ ,

$DF$ ,

$DE$ түзулерін сәйкесінше

$K$ ,

$L$ ,

$M$ нүктелерінде қияды.

$K$ ,

$L$ ,

$M$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$3366$ кино сыншысынан тұратын комиссия Оскар үшін дауыс береді. Әрбір кино сыншысы тек бір актерға және тек бір актрисаға дауыс берді. Дауыс беруден кейін,

$\left \{1, 2, \ldots, 100 \right \}$ жиынынан алынған әрбір

$n$ натурал саны үшін дәл

$n$ дауыс алған актер немесе актриса табылатыны анық болды. Екеуі де бір актерге дауыс берген және екеуі де бір актрисаға дауыс берген екі кино сыншысы табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №4. Әрбір

$n$ натурал саны үшін кез келген қатар тұрған натурал 20 санның ішінде келесі теңсіздік орындалатындай

$d$ натурал саны табылатынын дәлелдеңіздер:

$n\sqrt d \left\{ {n\sqrt d } \right\} > \dfrac{5}{2},$ мұндағы,

$\{x\}$ —

$x$ нақты санының бөлшек бөлігі,

$\{x\} = x - [x]$ , ал

$[x]$ —

$x$ нақты санының бүтін бөлігі, яғни

$x$ -тен аспайтын ең үлкен бүтін сан.
комментарий/решение

результаты