Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 32-ші Балкан олимпиадасы, Афины, Греция, 2015 жыл


Қабырғалары әр түрлі сүйірбұрышты ABC үшбұрышында I нүктесі іштей сызылған шеңбердің центрі, ал ω шеңбері сырттай сызылған шеңбер. AI, BI және CI түзулері екінші рет ω шеңберін сәйкесінше D, E және F нүктелерінде қияды. I нүктесі арқылы өтетін және BC, AC, AB қабырғаларына параллель түзулер EF, DF, DE түзулерін сәйкесінше K, L, M нүктелерінде қияды. K, L, M нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 11 месяца назад #

Заметим что DE серединный перпендикуляр CI поэтому MC=MI. Аналогично , LB=LI,KA=KI

Используя факт что MIAB откуда следует что MCI=MIC=B+12C=FBC

Откуда MC касательная к описанной окружности (ABC)

Откуда по Теореме Синусов ΔEMC:

EMMC=sinB2sinA2

Также sin2B2sin2A2=EM2MC2=EM2EM.MD=EMMD

Аналогично , sin2A2sin2C2=DLLF,sin2C2sin2B2=FKKE

Следовательно EMMD.DLLF.FKKE=1 и используя Теорему Менелая оно завершает доказательство

  7
3 года назад #

FEI=ICB=FIK отсюда KI касается описанной окружности EFI в IKI2=KEKF следовательно K лежит на радикальной оси (ABC) и окружности нулевого радиуса I аналогично с точками L и M

  0
4 месяца 5 дней назад #

(i)  Счет углов

BEF=C2DFE=B+A2  BEDF

Аналогично можно получить и следующие:

ADFECDDE

I   ортоцентр  DEF. 

Так как : B=EIω  B   отражение  I  от  DF.

(ii)  Построение новой задачи

Проекции из  D,E,F  назовем  HD,HE,HF  соответсвенно

BCHEHF,ABHEHD,ACHDHF.

Тогда задачу можно переформулировать так:

Дан треугольник  DEF. HD,HE,HF   проекции из соответствующих вершин на противоположные стороны. Если  I  ортоцентр то из  I  проводим параллель к  HDHE  и пересечем ее с  DE  в точке  M.  Аналогично дадим определение  K,L.  Докажите что точки  M,L,K  лежат на одной прямой

(iii)  Изменение новообразованной задачи

Назовем пересечение  HDHEDE=M.  Аналогично  L,K

Заметим что  MLMLKLKLMKMK.

Тогда : MKL  гомотетичен  MKL.

Если  MKL  вырожден, то же верно для  MKL

Перестроим нашу задачу:

Дан треугольник  DEF. HD,HE,HF   проекции из соответсвующих вершин на противоположные стороны. Пересечем прямые  HDHEDE=M.  Аналогично определим  K,L. Докажите что точки  M,L,K  лежат на одной прямой

(iv) Теорема Дезарга

Формулировка:

"Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку, то три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой."

Используем Теорему Дезарга на  D,E,F  и  HDHEHF:

IDHDIEHEIFHF

DEHDHE=M;DFHDHF=L;EFHEHF=K

Соответственно  M,K,L  находятся на одной прямой.  ч.т.д.