Математикадан 32-ші Балкан олимпиадасы, Афины, Греция, 2015 жыл
Комментарий/решение:
Заметим что DE серединный перпендикуляр CI поэтому MC=MI. Аналогично , LB=LI,KA=KI
Используя факт что MI∥AB откуда следует что ∠MCI=∠MIC=∠B+12∠C=∠FBC
Откуда MC касательная к описанной окружности (ABC)
Откуда по Теореме Синусов ΔEMC:
EMMC=sin∠B2sin∠A2
Также sin2∠B2sin2∠A2=EM2MC2=EM2EM.MD=EMMD
Аналогично , sin2∠A2sin2∠C2=DLLF,sin2∠C2sin2∠B2=FKKE
Следовательно EMMD.DLLF.FKKE=1 и используя Теорему Менелая оно завершает доказательство
(i) Счет углов
∠BEF=∠C2∠DFE=∠B+∠A2 → BE⊥DF
Аналогично можно получить и следующие:
AD⊥FECD⊥DE
I − ортоцентр △DEF.
Так как : B=EI∩ω → B − отражение I от DF.
(ii) Построение новой задачи
Проекции из D,E,F назовем HD,HE,HF соответсвенно
BC∥HEHF,AB∥HEHD,AC∥HDHF.
Тогда задачу можно переформулировать так:
Дан треугольник DEF. HD,HE,HF − проекции из соответствующих вершин на противоположные стороны. Если I ортоцентр то из I проводим параллель к HDHE и пересечем ее с DE в точке M. Аналогично дадим определение K,L. Докажите что точки M,L,K лежат на одной прямой
(iii) Изменение новообразованной задачи
Назовем пересечение HDHE∩DE=M′. Аналогично L′,K′
Заметим что M′L′∥MLK′L′∥KLM′K′∥MK.
Тогда : △MKL гомотетичен △M′K′L′.
Если △M′K′L′ вырожден, то же верно для △MKL
Перестроим нашу задачу:
Дан треугольник DEF. HD,HE,HF − проекции из соответсвующих вершин на противоположные стороны. Пересечем прямые HDHE∩DE=M′. Аналогично определим K′,L′. Докажите что точки M′,L′,K′ лежат на одной прямой
(iv) Теорема Дезарга
Формулировка:
"Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку, то три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой."
Используем Теорему Дезарга на D,E,F и HDHEHF:
I∈DHDI∈EHEI∈FHF
DE∩HDHE=M′;DF∩HDHF=L′;EF∩HEHF=K′
Соответственно M′,K′,L′ находятся на одной прямой. ч.т.д.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.