32-я Балканская математическая олимпиада
Афины, Греция, 2015 год

Задача №1.  Пусть $a,b,c$ — действительные положительные числа. Докажите неравенство \[{a^3}{b^6} + {b^3}{c^6} + {c^3}{a^6} + 3{a^3}{b^3}{c^3} \ge abc\left( {{a^3}{b^3} + {b^3}{c^3} + {c^3}{a^3}} \right) + {a^2}{b^2}{c^2}\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\]
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  В остроугольном разностороннем треугольнике $ ABC $ точка $I$ — центр вписанной окружности, а $\omega$ — описанная около него окружность. Прямые $AI$, $BI$ и $CI$ во второй раз пересекают $\omega$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Прямые, проходящие через $I$ и параллельные сторонам $BC$, $AC$, $AB$, пересекают прямые $EF$, $DF$, $DE$ в точках $K$, $L$, $M$ соответственно. Докажите, что точки $K$, $L$, $M$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(3)

---

Задача №3.  Комиссия состоящая из $3366$ кинокритиков голосуют за Оскара. Каждый кинокритик проголосовал только за одного актера и только за одну актрису. После голосования выяснилось, что для каждого натурального $n$ из множества $\left \{1, 2, \ldots, 100 \right \}$, найдется актер или актриса, которые набрали в точности $ n $ голосов. Докажите, что существует два критика, которые голосовали за одного и тоже актера и за одну и ту же актрису.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Докажите, что среди любых 20 последовательных натуральных чисел существует натуральное число $d$ такое, что для каждого натурального $n$ имеет место неравенство $n\sqrt d \left\{ {n\sqrt d } \right\} > \dfrac{5}{2}$, где $[x]$ — целая часть действительного числа $x$, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$, а $\{x\}$ — дробная часть действительного числа $x$, т.е. $\{x\} = x - [x]$.
комментарий/решение

---