Математикадан аудандық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 98 \cdot 99 \cdot 100$ көбейтіндісі қанша нольдермен аяқталады?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. 2007 теңгені қанша тәсілмен 1 және 5 теңгелік тиындармен майдалауға болады?
комментарий/решение(5)

Есеп №3. Табаны

$AD$ болатын

$ABCD$ трапециясы берілген.

$M$ нүктесі

$A$ және

$B$ төбелеріндегі сыртқы бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі, ал

$N$ нүктесі

$C$ және

$D$ төбелеріндегі сыртқы бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі.

$MN$ кесіндісі трапеция периметрінің жартысына тең болатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Кез-келген

$a$ ,

$b$ ,

$c$ — теріс емес сандар үшін келесі теңсіздікті дәлелде:

$ab+bc+ca \ge \sqrt{3abc(a+b+c)}.$
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының

$AD$ биссектрисасы

$AC$ қабырғасына тең және

$OH$ кесіндісіне перпендикуляр, мұндағы

$O$ — сырттай сызылған шеңбердің центрі, ал

$H$ — үшбұрыш биіктіктерінің қиылысу нүктесі. Осы үшбұрыштың бұрыштарын тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. 1-ден 127-ге дейінгі натурал сандарды топтағы сандардың қосындылары өзара тең бірнеше (бірден артық) топқа бөлген. Осындай топтар саны жұп болатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)