Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 9 класс


Найдите углы остроугольного треугольника ABC, если известно, что его биссектриса AD равна стороне AC и перпендикулярна отрезку OH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот треугольника ABC.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
8 месяца 26 дней назад #

Продолжим отрезки AO и AH до пересечения с описанной окружностью треугольника ABC в точках E и M соответственно .Пусть AM и BC пересекаются в точке P( AM и BC перпендикулярны) .AE диаметр , поэтому AME=90. Значит, EM BC. Поэтому равны меньшие дуги MC и EB. Следовательно, CAMBAE, а т.к. AD — биссектриса угла BAC, то OAD = HAD. Тогда высота AK треугольника OAH является его биссектрисой. Следовательно, треугольник OAH — равнобедренный.

Кроме того, высота AP равнобедренного треугольника CAD также является его биссектрисой. Поэтому CAM = MADDAO = OAB = α

Продолжим отрезок CH до пересечения с окружностью в точке F(CN - высота). В прямоугольном треугольнике APB ABP=903α.Значит в прямоугольном треугольнике BNC NCB=3α.

Углы FCB = BAF = 3α , ведь они опираются на дугу FB,поэтому они равны.

В треугольнике FAH, AN и высота, и биссктриса,поэтому AF = AH = OA = R = OF.Значит AFO равносторонний,поэтому OAF=60=4α,откуда α=15.

Углы в треугольнике ABC : A=4α=60, B=903α=45, значит C=75