Математикадан аудандық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
Продолжим отрезки AO и AH до пересечения с описанной окружностью треугольника ABC в точках E и M соответственно .Пусть AM и BC пересекаются в точке P( AM и BC перпендикулярны) .AE диаметр , поэтому ∠AME=90∘. Значит, EM ∥ BC. Поэтому равны меньшие дуги MC и EB. Следовательно, ∠CAM = ∠BAE, а т.к. AD — биссектриса угла BAC, то ∠OAD = ∠HAD. Тогда высота AK треугольника OAH является его биссектрисой. Следовательно, треугольник OAH — равнобедренный.
Кроме того, высота AP равнобедренного треугольника CAD также является его биссектрисой. Поэтому ∠CAM = ∠MAD = ∠DAO = ∠OAB = α
Продолжим отрезок CH до пересечения с окружностью в точке F(CN - высота). В прямоугольном треугольнике APB ∠ABP=90∘−3α.Значит в прямоугольном треугольнике BNC ∠NCB=3α.
Углы ∠FCB = ∠BAF = 3α , ведь они опираются на дугу FB,поэтому они равны.
В треугольнике FAH, AN и высота, и биссктриса,поэтому AF = AH = OA = R = OF.Значит △AFO равносторонний,поэтому ∠OAF=60∘=4α,откуда α=15∘.
Углы в треугольнике △ABC : ∠A=4α=60∘, ∠B=90∘−3α=45∘, значит ∠C=75∘
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.