Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Сколькими нулями оканчивается произведение

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Сколькими способами можно разменять 2007 тенге монетами достоинством в 1 и 5 тенге?
комментарий/решение(5)

Задача №3. Дана трапеции

$ABCD$ с основанием

$AD$ . Обозначим точку пересечения биссектрис внешних углов

$A$ и

$B$ через

$M$ , и точку пересечения биссектрисы внешних углов

$C$ и

$D$ через

$N$ . Доказать что длина отрезка

$MN$ равна половине периметра трапеции.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть

$a$ ,

$b$ ,

$c$ — неотрицательные числа. Докажите, что

$ab+bc+ca \geq \sqrt {3abc(a + b + c)}.$
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите углы остроугольного треугольника

$ABC$ , если известно, что его биссектриса

$AD$ равна стороне

$AC$ и перпендикулярна отрезку

$OH$ , где

$O$ — центр описанной окружности,

$H$ — точка пересечения высот треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Натуральные числа от 1 до 127 разбили на несколько (больше, чем на одну) групп с равными суммами. Докажите, что этих групп — четное число.
комментарий/решение(1)