қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Сколькими нулями оканчивается произведение
$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Сколькими способами можно разменять 2007 тенге монетами достоинством в 1 и 5 тенге?
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №3. Дана трапеции $ABCD$ с основанием $AD$. Обозначим точку пересечения биссектрис внешних углов $A$ и $B$ через $M$, и точку пересечения биссектрисы внешних углов $C$ и $D$ через $N$. Доказать что длина отрезка $MN$ равна половине периметра трапеции.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть $a$, $b$, $c$ — неотрицательные числа. Докажите, что $ab+bc+ca \geq \sqrt {3abc(a + b + c)}.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Найдите углы остроугольного треугольника $ABC$, если известно, что его биссектриса $AD$ равна стороне $AC$ и перпендикулярна отрезку $OH$, где $O$ — центр описанной окружности, $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Натуральные числа от 1 до 127 разбили на несколько (больше, чем на одну) групп с равными суммами. Докажите, что этих групп — четное число.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)