Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 9 класс

Пусть $a$, $b$, $c$ — неотрицательные числа. Докажите, что $ab+bc+ca \geq \sqrt {3abc(a + b + c)}.$

Комментарий/решение

$$ab+bc+ac\geq \sqrt{3abc(a+b+c)}\Rightarrow (ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c) \Rightarrow$$

$$a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2 \geq 3a^2bc+3ab^2c+3abc^2 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2-a^2bc-ab^2c-abc^2=\frac{1}{2}((ab-bc)^2+(ab-ac)^2+(bc-ac)^2)\geq 0$$