Қалалық Жәутіков олимпиадасы
7 сынып, 2010 жыл

Есеп №1. Англия тұрғыны Джон С.Синглтон 1957 жылы екі кубиктен тұратын күнтізбеге патент алды.
Күнтізбенің басты ерекшелігі екі кубиктегі сандарды күндердің реті бойынша алдынғы жағына орныналастыру болып табылады. Кубиктің әр жағында 0-ден 9-ға дейінгі тек қана бір сан ғана жазылған және $01$, $02$, $03$, $\ldots$, $31$-ге дейінгі кез келген санды алатындай етіп кубиктер орналасқан. Көрінбейтін сол жағындағы кубиктің төрт санын және оң жақтағы үш санын анықтаңдар.

комментарий/решение

---

Есеп №2.  $1000\times 1000$ шахмат тақтасында өзіне өзі қол жұмсайтын ақтың королі және қараның 500 ладьясы тұр. Ақ пен қаралар кезекпен жүреді(ақтар — корольмен, қаралар — қандай да бір ладьямен). Ақтың королі әрқашан қандай да бір ладьяның жүрісінің жолында тұра алатынын дәлелдеңдер (қаралар қалай ойнаса да және тастардың алғашқы орналасуына және жүріс кезегіне байланыссыз).
комментарий/решение

---

Есеп №3.  Шеңбер бойымен 10 монета орналасқан. Монеталары бір уақытта қатар тұрған төртеуін немесе қандай да бір монетаның сол жағындағы екеуін және оң жағындағы екеуін аударуға рұқсат етіледі. Осы шартпен барлық 10 монетаны аударып шығуға бола ма?
комментарий/решение

---

Есеп №4. $M$ – $ABC$ үшбұрышының $AC$ қабырғасының ортасы. $D$ нүктесі $\angle BMA=\angle DMC$ болатындай $BC$ қабырғасынан алынған. Сонда $CD+DM=BM$ болып шықты. Онда $\angle ACB+\angle ABM=\angle BAC$ теңдігі орындалатынын дәлелдендер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. Өлшемдері мен сыртқы бейнесі бірдей алюминий және дюральдан(ауырырақ) жасалған 20 металл кубигі алынған. Кубиктердің ішінде кем дегенде бір алюминий кубигі бар. Екі табақшасы бар таразының көмегімен гирьсіз 11 рет өлшеп дюральды кубиктердің санын қалай анықтауға болады?
комментарий/решение

---

Есеп №6. Екі қаладан бір уақытта бір-біріне қарама-қарсы екі велосипедші шықты. Олар талтүсте кездесті және кездескеннен соң бірінші велосипедші қарсы қалаға 4 сағаттан кейін, ал екіншісі 9 сағаттан кейін жетті. Велосипедшілердің өз қалаларынан қай уақытта шыққанын анықтаңдар?
комментарий/решение

---

Есеп №7. 4 алма бар. Олардың салмағы: 600 г, 400 г, 300 г, 250 г. Оны Бекжан және Малика екеуі жейтін болды. Бірінші таңдау Маликаның еншісінде: ол кез келген алманың біреуін алып жей бастайды. Одан кейін (бірден артынша) Бекжан қалған алманың біреуін алып жейді. Олардың алманы жеу жылдамдығы бірдей. Кімде кім алмасын бірінші жеп бітірсе, келесі қалған алманы алуына құқығы бар. Әркім барынша көп алма жеуге тырысады. Сонда олардың ең тиімді жоспары қандай болуы керек?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №8. Қандай да бір алаяқ квадрат жер участкесін алып, оны айнала қоршап алады. Ол колхоз бастығынан алған участкесіне бірнеше рет мынандай өзгерістер енгізуге болады деген құжат алып алды: участкені қоршап тұрған дуалдың кез келген екі нүктесі арқылы түзу жүргізіп сол екі нүкте арасындағы дуалды бұзып тастап, оның орнына жаңағы түзуге қарағанда алып тасталынған дуалға симметриялы дуал салып алуға болады. Ол осы операция арқылы өзінің участкесінің ауданын үлкейте ала ма?
комментарий/решение

---

Есеп №9. Кез келген радиусы 1 см болатын шеңбердің төрт нүктесі боялатындай етіп жазықтықты қалай бояп шығуға болатынын түсіндіріңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №10. 18 тізбектес үштаңбалы сандардың ішінде өзінің цифрларының қосындысына бөлінетін кем дегенде бір сан бар екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---