Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2010 год

Задача №1. Джон С.Синглтон из Англии запатентовал календарь из двух кубиков в 1957 г. Особенностью данного календаря является то, что день на нем выставляется просто путем расположению двух кубиков с числами так, чтобы цифры на их передней поверхности образовывали дату. На каждой стороне кубика было только по одной цифре, от 0 до 9, и кубики можно было расположить так, чтобы получить любое число месяц от 01, 02, 03, $\dots$, 31. Определите четыре цифры, которые не видны на левом кубике, и три — на правом.

комментарий/решение

Задача №2. На шахматной доске $1000\times 1000$ стоит король — самоубийца и 500 черных ладей. Белые и черные по очереди делают по одному ходу (белые — королем, черные — одной из ладьей по своему выбору). Докажите, что белый король всегда сможет встать под бой одной из черных ладей (как бы ни играли черные и каковы бы ни были начальная позиция и очередь хода).
комментарий/решение

Задача №3. По кругу лежат 10 момент. Разрешается одновременно перевернуть или четыре рядом лежащие, или по две слева и справа от какой-то моменты. Можно ли этими операциями перевернуть все 10 момент?
комментарий/решение

Задача №4. Точка $M$ — середина стороны $AC$ треугольника $ABC$. Точка $D$ на стороне $BC$ такова, что $\angle BMA=\angle DMC$. Оказалось, что $CD+DM=BM$. Докажите, что $\angle ACB+\angle ABM=\angle BAC$.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Некоторые из 20 металлических кубиков, одинаковых по размеру и внешнему виду, алюминиевые, остальные дюралевые (более тяжелые). Среди кубиков есть хотя бы один алюминиевый. Как при помощи 11 взвешиваний на весах с двумя чашечками без гирь определить число дюралевых кубиков?
комментарий/решение

Задача №6. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов. Они встретились в полдень, и первый велосипедист достиг чужого города через 4 часа, а второй через 9 часов. Узнайте, когда они выехали из своих городов?
комментарий/решение

Задача №7. Имеются 4 яблока. Они весят 600 г, 400 г, 300 г, 250 г. Двое Бекжан и Малика собираются их есть. Право первого выбора за Маликой: она берет любое из яблок и начинает его есть. Скорость поедания яблок у обоих одинаковая. Тот, кто съел свое яблоко, имеет право взять следующее (любое из оставшихся). Какова оптимальная стратегия Бекжана и Малики, если каждый хочет съесть побольше?
комментарий/решение(1)

Задача №8. Некий жулик приобрел квадратный участок земли, обнес его забором и получил у доверчивого председателя колхоза документ, в котором сказано, что он имеет право несколько раз провести следующую операцию: провести прямую через любые две точки забора, огораживающего его участок, снести кусок забора между двумя точками и достроить такой же участок забора с другой стороны симметрично снесенной части относительно выбранной прямой. Сможет ли он такими операциями увеличить площадь своего участка?
комментарий/решение

Задача №9. Объясните, как покрасить часть плоскости так, чтобы на любой окружности радиуса 1 см было ровно четыре окрашенные точки.
комментарий/решение

Задача №10. Докажите, что среди 18 последовательных трехзначных чисел найдется хотя бы одно, которое делится на сумму своих цифр.
комментарий/решение(1)