Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2009 жыл

Есеп №1. Бір айналымды шахмат турниріне 16-дан кем емес ойыншы қатысты. (барлық қатысушылар бір-бірімен тек бір рет ойнайды). Ойындағы жеңіске 1 ұпай, жеңіліске — 0, тең ойынға — жарты ұпай беріледі. Турнир қорытындысы бойынша 11 ойыншы 5–тен аспайтын ұпай жинады. Неше ойыншы 7 ұпайдан жинады? Жауабын негіздеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №2. Есептеңдер: $\cos 4{}^\circ \cdot \cos 8{}^\circ \cdot \cos 12{}^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 84{}^\circ \cdot \cos 88{}^\circ $.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Натурал $k,l$ және $m$ сандары үшін $\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{l}+\dfrac{1}{m} < 1$ теңсіздігі орындалсын. Онда $\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{l}+\dfrac{1}{m}\le \dfrac{41}{42}$. теңсіздігі де орындалатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында$\angle BAC=\angle DBC=30{}^\circ$, $\angle BCA=20{}^\circ $ және $\angle BDC=70{}^\circ $. $ABCD$ — трапеция екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. Теңдеудің барлық бүтін шешімдерін табыңдар: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{2}^{2009}}.$
комментарий/решение(3)

---

Есеп №6. 11-ге бөлінбейтін, бірақ оның кез келген цифрын сол цифрдан 1-ге өзгешелігі бар цифрға ауыстырғанда (мысалы, $3\to 2$ немесе 4, $9\to 8$) 11-ге бөлінетін сан пайда болатын ең кіші натурал санды табыңдар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №7. $n$–ның қандай натурал мәндерінде квадраты ${{n}^{3}}-32{{n}^{2}}+n$-ге тең бүтін сан табылады?
комментарий/решение

---

Есеп №8. Қабырғалары $a=\frac{{{2}^{2000}}}{{{3}^{999}}}$, $b=\frac{{{2}^{2002}}}{{{3}^{1000}}}$, $c=\frac{5\cdot {{2}^{2000}}}{{{3}^{1000}}}$. болатын үшбұрыш берілген. Алғашында қабырғалары берілген үшбұрыштың медианаларына тең болатын үшбұрыш салынды. Келесіде қабырғалары салынған үшбұрыштың медианаларына тең үшбұрыш салынды. Одан кейін қабырғалары осы салынған үшбұрыштың медианаларына тең үшбұрыш, тағы сол сияқты қабырғалары бүтін санға тең үшбұрыш пайда болғанша үшбұрыштар салынды. Шыққан үшбұрыш тікбұрышты екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---