Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2009 год

Найдите все целочисленные решения уравнения: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{2}^{2009}}$.

Комментарий/решение

b_Лемма: Квадрат четного числа при делении на 4 дает остаток 0, квадрат нечетного числа при делении на 4 дает остаток 1._b

$n^2 \equiv \{0,1\} \pmod{4}.$

Правая часть кратна 4, значит $x^2, \, y^2, \, z^2 \equiv 0 \pmod{4}.$

Будем делить уравнение на 4, пока правая часть кратна 4, тогда получим:

$X^2+Y^2+Z^2=2,$

корнями которого будут числа $\pm 1, \, \pm 1, \, 0$.

Значит решением исходного уравнения будет перестановка тройки $(\pm 2^{1004}; \, \pm 2^{1004}; \, 0)$

Ваша лемма очень известный факт

Широко известно в узких кругах)