Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2009 год

Задача №1. В шахматном турнире, проходившем по круговой системе (все участники играют между собой ровно один раз), участвовало не менее 16 игроков. За победу в партии игроку дается 1 очко, за поражение — 0, за ничью — пол-очка. Известно, что по итогам турнира число участников, набравших не более пяти очков, равно 11. Сколько участников набрали по 7 очков? Ответ обоснуйте.
комментарий/решение

Задача №2. Вычислите:

$\cos 4{}^\circ \cdot \cos 8{}^\circ \cdot \cos 12{}^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 84{}^\circ \cdot \cos 88{}^\circ$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть для натуральных чисел

$k,l$ и

$m$ выполняется неравенство

$\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{l}+\dfrac{1}{m} < 1$ . Докажите, что тогда выполняется и неравенство

$\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{l}+\dfrac{1}{m}\le \dfrac{41}{42}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. В выпуклом четырехугольнике

$ABCD$

$\angle BAC=\angle DBC=30{}^\circ ,\angle BCA=20{}^\circ$ и

$\angle BDC=70{}^\circ$ . Докажите, что

$ABCD$ — трапеция.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите все целочисленные решения уравнения:

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{2}^{2009}}$ .
комментарий/решение(3)

Задача №6. Найдите наименьшее натуральное число, не делящееся на 11, такое, что при замене любой его цифры на цифру, отличающуюся от выбранной на 1 (например, 3 может быть заменена 2 или 4; 9 может быть заменена только 8), получается число, делящееся на 11.
комментарий/решение(1)

Задача №7. При каких натуральных

$n$ существует целое число, квадрат которого равен

${{n}^{3}}-32{{n}^{2}}+n$ ?
комментарий/решение

Задача №8. Дан треугольник со сторонами

$a=\dfrac{{{2}^{2000}}}{{{3}^{999}}}$ ,

$b=\dfrac{{{2}^{2002}}}{{{3}^{1000}}}$ ,

$c=\dfrac{5\cdot {{2}^{2000}}}{{{3}^{1000}}}$ . Сначала построили треугольник, стороны которого равны медианам этого треугольника. Потом построили треугольник, стороны которого равны медианам построенного треугольника. Затем построили треугольник со сторонами, равными медианам предыдущего треугольника, и т.д., пока не получился треугольник с целыми сторонами. Докажите, что он является прямоугольным.
комментарий/решение(1)