Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2009 жыл

Есеп №1. Корзинада алмалар мен алмұрттар бар. Егер оған қазір алмұрттың саны қанша болса сонша алма қосса, онда алманың пайызы, егер корзинаға қазір онда қанша алма болса сонша алмұрт қосқандағы пайыздан екі есе көп болар еді. Алғашында корзинадағы алманың пайызы қанша?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Тақтада мына өрнек жазылған $*{{n}^{8}}*{{n}^{7}}*{{n}^{6}}*{{n}^{5}}*{{n}^{4}}*{{n}^{3}}*{{n}^{2}}*n.$ Мұрат пен Марат мынандай ойын ойнайды: кезекпен жүріп «$*$» таңбасын «$+$» немесе «$-$»-ке ауыстырады. Ойынды Мұрат бастайды. Егер сегіз жүрістен кейін кез келген натурал $n$ үшін 6-ға бөлінетін өрнек пайда болса, онда Марат жеңеді, басқа жағдайда жеңіске Мұрат жетеді. Дұрыс ойында кім жеңеді: ойынды бастаған ба, әлде оның қарсыласы ма?
комментарий/решение

---

Есеп №3. Егер $abc=1$ болса, онда $\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+c+ca}$ өрнегінің мәнін табыңдар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. $ABC$ үшбұрышында $D$ нүктесі $AC$ қабырғаның ортасы. $BC$ қабырғасы бойынан болатындай $E$ нүктесі алынған. $AE:DE$ қатынасын табыңдар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. Нақты $x,y$ сандары ${{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=4$ және ${{x}^{4}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{4}}=8$ теңдіктерін қанағаттандырады. ${{x}^{6}}+{{x}^{3}}{{y}^{3}}+{{y}^{6}}$ өрнегінің мәнін табыңдар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6. Бір сан 100 үштіктен, ал басқасы — 100 алтылықтан тұрады. Осы сандардың көбейтіндісінің цифрларының қосындысын табыңдар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №7. Асан мен Марат мынандай ойын ойнайды. Олар кезекпен өлшемі $20 \times 99$ тақтада төбелері тордың центрінде жататын үшбұрыштар сызады. Сызылған үшбұрыштардың ортақ нүктелері болмауы керек (төбелерін де қоса). Келесі жүрісін жасай алмаған ойыншы жеңіледі. Ойынды Асан бастайды. Дұрыс ойында кім жеңеді: ойынды бастаған ба, әлде оның қарсыласы ма?
комментарий/решение

---

Есеп №8. $ABCD$ ($BC\parallel AD$) трапецисының $A$ және $B$ бұрыштарының биссектрисалары $M$ нүктесінде, ал $C$ және $D$ бұрыштарының биссектрисалары $N$ нүктесінде қиылысады. $BC=a$, $AD=b$, $AB=c$, $CD=d$. $MN$ кесіндісінің ұзындығын табыңдар.
комментарий/решение(5)

---