қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2009 год
Задача №1. В корзине лежат яблоки и груши. Если добавить туда столько же яблок, сколько сейчас там груш (в штуках), то процент яблок будет вдвое больше, чем получится, если добавить в корзину столько груш, сколько сейчас там яблок. Какой процент яблок сейчас в корзине?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. На доске написано выражение $*{{n}^{8}}*{{n}^{7}}*{{n}^{6}}*{{n}^{5}}*{{n}^{4}}*{{n}^{3}}*{{n}^{2}}*n.$ Мурат и Марат играют в такую игру: ходят по очереди заменяя знак «$*$» на «$+$» или «$-$». Начинает игру Мурат. Если после восьми ходов получится выражение, которое делится на 6 при любом натуральном $n$, то выиграет Мурат, в противном случае выиграет Марат. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его противник?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Найдите значение выражения $\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+c+ca}$, если известно, что $abc=1$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Точка $D$— середина стороны $AC$ треугольника $ABC$. На стороне $BC$ выбрана такая точка $E$, что $\angle BEA=\angle CED$. Найдите отношение длин $AE:DE$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Действительные числа $x,y$ удовлетворяют соотношениям: ${{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=4$ и
${{x}^{4}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{4}}=8$. Найдите значение выражения ${{x}^{6}}+{{x}^{3}}{{y}^{3}}+{{y}^{6}}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Одно число состоит из 100 троек, другое — из 100 шестерок. Определите сумму цифр произведения этих чисел.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Асан и Марат играют в следующую игру. На доске $20 \times 99$ они по очереди рисуют треугольники с вершинами в центрах клеток доски. При этом контуры треугольников не могут иметь общих точек (включая и вершины). Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода. Первым ходит Асан. Кто выиграет при правильной игре?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $M$, а биссектрисы углов $C$ и $D$ — в точке $N$. $BC=a$, $AD=b$, $AB=c$, $CD=d$. Найдите длину отрезка $MN$.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)