Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2009 год

Задача №1. В корзине лежат яблоки и груши. Если добавить туда столько же яблок, сколько сейчас там груш (в штуках), то процент яблок будет вдвое больше, чем получится, если добавить в корзину столько груш, сколько сейчас там яблок. Какой процент яблок сейчас в корзине?
комментарий/решение(1)

Задача №2. На доске написано выражение

$*{{n}^{8}}*{{n}^{7}}*{{n}^{6}}*{{n}^{5}}*{{n}^{4}}*{{n}^{3}}*{{n}^{2}}*n.$ Мурат и Марат играют в такую игру: ходят по очереди заменяя знак «

$*$ » на «

$+$ » или «

$-$ ». Начинает игру Мурат. Если после восьми ходов получится выражение, которое делится на 6 при любом натуральном

$n$ , то выиграет Мурат, в противном случае выиграет Марат. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его противник?
комментарий/решение

Задача №3. Найдите значение выражения

$\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+c+ca}$ , если известно, что

$abc=1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Точка

$D$ — середина стороны

$AC$ треугольника

$ABC$ . На стороне

$BC$ выбрана такая точка

$E$ , что

$\angle BEA=\angle CED$ . Найдите отношение длин

$AE:DE$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Действительные числа

$x,y$ удовлетворяют соотношениям:

${{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=4$ и

${{x}^{4}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{4}}=8$ . Найдите значение выражения

${{x}^{6}}+{{x}^{3}}{{y}^{3}}+{{y}^{6}}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Одно число состоит из 100 троек, другое — из 100 шестерок. Определите сумму цифр произведения этих чисел.
комментарий/решение(1)

Задача №7. Асан и Марат играют в следующую игру. На доске

$20 \times 99$ они по очереди рисуют треугольники с вершинами в центрах клеток доски. При этом контуры треугольников не могут иметь общих точек (включая и вершины). Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода. Первым ходит Асан. Кто выиграет при правильной игре?
комментарий/решение

Задача №8. В трапеции

$ABCD$ (

$BC \parallel AD$ ) биссектрисы углов

$A$ и

$B$ пересекаются в точке

$M$ , а биссектрисы углов

$C$ и

$D$ — в точке

$N$ .

$BC=a$ ,

$AD=b$ ,

$AB=c$ ,

$CD=d$ . Найдите длину отрезка

$MN$ .
комментарий/решение(5)