қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. $abc=1$ болатындай $a$, $b$ және $c$ нақты сандары үшін $2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+a+b+c\ge 6+ab+bc+ac$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Цифрларының қосындысы мен көбейтіндісін қоссақ сол сан өзі шығатындай, 10-нан үлкен қанша натурал сандар бар? (Мысалы $29=2\cdot 9+2+9$.)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $ABCD$ төртбұрышының ішінен $M$ нүктесі $ABMD$ параллелограмм болатындай етіп алынған. Егер $\angle CBM=\angle CDM$ болса, онда $\angle ACD=\angle BCM$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Теңдеулер жүйесін шешіңіз: $\left\{ \begin{array}{l}
{x^{2006}} + {y^{2006}} + {z^{2006}} = 2,\\
{x^{2007}} + {y^{2007}} + {z^{2007}} = 2,\\
{x^{2008}} + {y^{2008}} + {z^{2008}} = 2.
\end{array} \right.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ қосындысы 7-ге бөлінетіндей, 1000-нан кіші $x$ және $y$ натурал сандарының қанша жұбы бар?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $, ${{a}_{2007}}$ бүтін сандар тізбегі берілген. ${{a}_{1}}=1$, ${{a}_{2}}=3$ және кез келген натурал $2\le n\le 2006$ үшін ${{a}_{n+1}}=3{{a}_{n}}-2{{a}_{n-1}}$ қатынасы орындалады. Тізбектің ${{a}_{2007}}$ мүшесін табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №7. Дипломаттың иесі кодпен ашылатын дипломаттың 3-таңбалы саннан (000-999) тұратын кодты ұмытып калыпты. Оның тек ол санның цифрларының косындысы 15 екені ғана есінде бар. Димпломатты кепілді түрде ашу үшін ең аз дегенде оған қанша вариант қарап шығу керек?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. $ABC$ үшбұрышында $\angle ABC=2\angle ACB$ теңдігі орындалса, онда $AB+BC < 2AC$ болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)