Математикадан аудандық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$abc=1$ болатындай

$a$ ,

$b$ және

$c$ нақты сандары үшін

$2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+a+b+c\ge 6+ab+bc+ac$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Цифрларының қосындысы мен көбейтіндісін қоссақ сол сан өзі шығатындай, 10-нан үлкен қанша натурал сандар бар? (Мысалы

$29=2\cdot 9+2+9$ .)
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$ABCD$ төртбұрышының ішінен

$M$ нүктесі

$ABMD$ параллелограмм болатындай етіп алынған. Егер

$\angle CBM=\angle CDM$ болса, онда

$\angle ACD=\angle BCM$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

$\left\{ \begin{array}{l} {x^{2006}} + {y^{2006}} + {z^{2006}} = 2,\\ {x^{2007}} + {y^{2007}} + {z^{2007}} = 2,\\ {x^{2008}} + {y^{2008}} + {z^{2008}} = 2. \end{array} \right.$
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ қосындысы 7-ге бөлінетіндей, 1000-нан кіші

$x$ және

$y$ натурал сандарының қанша жұбы бар?
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{2007}}$ бүтін сандар тізбегі берілген.

${{a}_{1}}=1$ ,

${{a}_{2}}=3$ және кез келген натурал

$2\le n\le 2006$ үшін

${{a}_{n+1}}=3{{a}_{n}}-2{{a}_{n-1}}$ қатынасы орындалады. Тізбектің

${{a}_{2007}}$ мүшесін табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №7. Дипломаттың иесі кодпен ашылатын дипломаттың 3-таңбалы саннан (000-999) тұратын кодты ұмытып калыпты. Оның тек ол санның цифрларының косындысы 15 екені ғана есінде бар. Димпломатты кепілді түрде ашу үшін ең аз дегенде оған қанша вариант қарап шығу керек?
комментарий/решение

Есеп №8.

$ABC$ үшбұрышында

$\angle ABC=2\angle ACB$ теңдігі орындалса, онда

$AB+BC < 2AC$ болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)