Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 10 класс


Сколько существует пар натуральных чисел $x$ и $y$, меньших тысячи, таких, что $x^2+y^2$ делится на 7?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
2016-12-07 20:43:21.0 #

Так как $ x \equiv 0,1,2,3,4,5,6 \pmod {7}$, то $ x^2 \equiv 0,1,2,4 \pmod {7},$.

Значит, что $ x^2 \equiv 0 \pmod {7},$ и $ y^2 \equiv 0 \pmod {7},$ так как при сложении остатков $1,2,4$ при делении на 7 двух квадратов никак не будет равняться 7. Число натуральных чисел меньших 1000 и делящихся на 7 равно 142. Значит у нас есть $142^2$ пар.

Ответ:$142^2$ пар