Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Пусть

$a$ ,

$b$ и

$c$ действительные положительные числа, такие, что

$abc=1$ . Докажите, что

$2\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right) + a + b + c \geq 6 + ab + bc + ac.$
комментарий/решение(2)

Задача №2. Сколько существует натуральных чисел больших 10, каждое из которых равно сумме его цифр и их произведения (например,

$29=2+9+2\cdot 9$ )?
комментарий/решение(2)

Задача №3. Внутри четырехугольника

$ABCD$ взята точка

$M$ так, что

$ABMD$ — параллелограмм. Докажите, что если

$\angle CBM= \angle CDM$ , то

$\angle ACD= \angle BCM$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Решите систему уравнений

$\left\{ \begin{array}{rcl} x^{2006} + y^{2006} + z^{2006} = 2, \\ x^{2007} + y^{2007} + z^{2007} = 2,\\ x^{2008} + y^{2008} + z^{2008} = 2,\\ \end{array} \right.$ где

$x$ ,

$y$ ,

$z$ — действительные числа.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Сколько существует пар натуральных чисел

$x$ и

$y$ , меньших тысячи, таких, что

$x^2+y^2$ делится на 7?
комментарий/решение(1)

Задача №6. Дана последовательность целых чисел

$a_1, a_2, \ldots ,a_{2007}$ , для которой справедливо

$a_1=1$ ,

$a_2=3$ и при любых натуральных

$2\leq n \leq 2006$ выполняется равенство

$a_{n+1}=3a_n-2a_{n-1}$ . Найдите

$a_{2007}$ .
комментарий/решение(2)

Задача №7. Владелец кодового дипломата забыл трехзначный набор цифр (000-999), с помощью которого открывается дипломат. Он помнит, что сумма цифр равна 15. Какое минимальное количество вариантов ему следует опробовать, что гарантированно открыть дипломат.
комментарий/решение

Задача №8. В треугольнике

$ABC$ выполняется равенство

$\angle ABC=2 \angle ACB$ . Докажите, что

$AB+BC<2AC$ .
комментарий/решение(1)