Математикадан аудандық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 10 сынып

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ қосындысы 7-ге бөлінетіндей, 1000-нан кіші $x$ және $y$ натурал сандарының қанша жұбы бар?

Комментарий/решение

Так как $x \equiv 0,1,2,3,4,5,6 \pmod {7}$, то $x^2 \equiv 0,1,2,4 \pmod {7},$.

Значит, что $x^2 \equiv 0 \pmod {7},$ и $y^2 \equiv 0 \pmod {7},$ так как при сложении остатков $1,2,4$ при делении на 7 двух квадратов никак не будет равняться 7. Число натуральных чисел меньших 1000 и делящихся на 7 равно 142. Значит у нас есть $142^2$ пар.

Ответ:$142^2$ пар