Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2003 год

Задача №1. Телеграф может передавать знаки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

$+$ ,

$-$ ,

$\times$ (знак умножения),

$\div$ (знак деления) и

$=$ (знак равенства). При передаче правильного равенства один знак был передан некорректно и получилось неправильное равенство:

$9\times 5+1045=1990$ . Найдите всевозможные правильные равенства, которые могли быть переданы по телеграфу.
комментарий/решение

Задача №2. Докажите, что для любых допустимых значений

$x,y,z$ выполняется равенство

$\dfrac{x(y+z)}{(x-y)(x-z)}+\dfrac{y(x+z)}{(y-z)(y-x)}+\dfrac{z(x+y)}{(z-x)(z-y)}=-1.$
комментарий/решение(1)

Задача №3. В равнобедренном треугольнике

$ABC$ (

$AB=AC$ ,

$\angle BAC=30{}^\circ$ ) на стороне

$AB$ и медиане

$AD$ соответственно выбраны точки

$Q$ и

$P$ таким образом, что

$PC=PQ$ (

$P\ne Q$ ). Найдите

$\angle PQC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. На клетчатую доску размера

$100\times 100$ разместили 99 квадрата со сторонами 1, 2,

$\dots$ , 99 таким образом, чтобы они не выходили за пределы доски и содержали клетки доски целиком. Докажите, что хотя бы одна клетка доски будет покрыта не менее 50 квадратами.
комментарий/решение