Қалалық Жәутіков олимпиадасы
7 сынып, 2003 жыл

Есеп №1. Телеграф 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, $+$, $-$, $\times$ (көбейту таңбасы), $\div$ (бөлу таңбасы) және $=$ (теңдік таңбасы) таңбаларын жібере алады. Дұрыс теңдікті жібергенде бір таңба дұрыс басылмады да, мынандай қате теңдік шықты: $9 \times 5+1045=1990.$ Телеграфтан жіберілуі мүмкін барлық дұрыс теңдікті табыңдар.
комментарий/решение

---

Есеп №2. Кез келген бір-біріне тең емес $x,y,z$ сандары үшін келесі теңдікті дәлелдеңдер: $$\dfrac{x(y+z)}{(x-y)(x-z)}+\dfrac{y(x+z)}{(y-z)(y-x)}+\dfrac{z(x+y)}{(z-x)(z-y)}=-1.$$
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Тең бүйірлі $ABC$ ($AB=AC$, $\angle BAC=30{}^\circ$) үшбұрышының $AB$ қабырғасынан және $AD$ медианасынан сәйкесінше $Q$ және $P$ нүктелері $PC=PQ$ ($P\ne Q$) болатындай етіп алынған. $PQC$ бұрышын табыңдар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. $100\times 100$ шаршылы тақтасына қабырғалары 1, 2, $\ldots$, 99-ға тең болатын 99 квадрат, тақта шетінен шықпайтындай және тақта шаршыларын толығымен қамтитындай етіп орналастырылған. Кем дегенде 50 квадратпен жабылатындай бір тақта шаршысы табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---