қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2003 год
Задача №1. Телеграф может передавать знаки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, $+$, $-$, $\times $ (знак умножения), $\div $ (знак деления) и $=$ (знак равенства). При передаче правильного равенства один знак был передан некорректно и получилось неправильное равенство: $9\times 5+1045=1990$. Найдите всевозможные правильные равенства, которые могли быть переданы по телеграфу.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Докажите, что для любых допустимых значений $x,y,z$ выполняется равенство $\dfrac{x(y+z)}{(x-y)(x-z)}+\dfrac{y(x+z)}{(y-z)(y-x)}+\dfrac{z(x+y)}{(z-x)(z-y)}=-1.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$, $\angle BAC=30{}^\circ $) на стороне $AB$ и медиане $AD$ соответственно выбраны точки $Q$ и $P$ таким образом, что $PC=PQ$ ($P\ne Q$). Найдите $\angle PQC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. На клетчатую доску размера $100\times 100$ разместили 99 квадрата со сторонами 1, 2, $\dots$, 99 таким образом, чтобы они не выходили за пределы доски и содержали клетки доски целиком. Докажите, что хотя бы одна клетка доски будет покрыта не менее 50 квадратами.
комментарий/решение
комментарий/решение