Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2002 год

Задача №1. На сторонах

$AD$ и

$DC$ ромба

$ABCD$ построены правильные треугольники

$AKD$ и

$DMC$ так, что точка

$K$ лежит по ту же сторону от

$AD$ , что и прямая

$BC$ , а точка

$M$ — по другую сторону от

$DC$ , чем

$AB$ . Докажите, что точки

$B$ ,

$K$ и

$M$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Решите числовой ребус (разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым буквам — одинаковые):

$\text{РАДИУС+ДУГА=ФИГУРЫ}.$
комментарий/решение(1)

Задача №3. Шестизначное число делится на 7. Его первую цифру стерли, а затем записали ее позади последней цифры числа. Докажите, что вновь получившееся шестизначное число тоже делится на 7.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Найти наименьшее положительное число

$x$ , удовлетворяющее неравенству

$\left[ x \right]\cdot \left\{ x \right\}\ge 3$ , где

$\left[ x \right]$ — целая часть,

$\left\{ x \right\}$ — дробная часть числа

$x$ .

$([5,67]=5$ ,

$\left\{ 5,67 \right\}=0,67)$ .
комментарий/решение(1)