Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2002 жыл
Комментарий/решение:
1)Четырёхугольник ACKM вписан в окружность с центром в точке D
Доказательство. △DAK− равносторонний ⇒DA=DK
△DCM− равносторонний ⇒DC=DM
DA=DC (свойство ромба, у него все стороны равны)
Обобщая, получаем DA=DK=DC=DM=R
2)∠ADB=∠CDB=∠ADC2 в силу того, что диагонали ромба являются биссектрисами
3) ∠AKC и ∠ADC опираются на дугу ⌢AC. Но ∠ADC−центральный. Поэтому ∠AKC=∠ADC2=∠ADB=∠CDB
4)∠DAC=∠DCA;∠DKM=∠DMK (В силу равнобедренности треугольников △DAC,△DKM, это следует из [1])
5)△ACD=△DKM
Доказательство. Из [1]⇒DA=DK;DC=DM
∠ADC=60∘−∠CDK;∠KDM=60∘−∠CDK
Получаем равенство по соответствующим двум сторонам и углу между ними.
6)Из [4,5]⇒∠ACD=∠DKM
7)∠AKD=60∘ по условию
8)∠CKA+∠DKM=∠CDB+∠DCA; так как AC⊥DB (свойство диагоналей ромба), то ∠CDB+∠DCA=180∘−90∘=90∘
9)Если ∠MKB=180∘, то утверждение задачи доказано. Выразим ∠MKB через остальные углы
∠MKB=(∠CKA+∠DKM)+∠AKD+∠BKC=90∘+60∘+∠BKC=150∘+∠BKC
10)△MCB−равнобедренный
Доказательство.DC=CM (из равностороннего △DCM
DC=CB (Из ромба ABCD)⇒DC=CM=CB
11) Из [10]⇒∠CMB=∠CBM
12)Рассмотрим △ACK. Сумма углов в нем
∠CAK+∠ACK+∠CKA=∠CAK+∠ACD+∠DCM+∠MCK+∠CKA=180∘
Пусть ∠CAK=x;∠ACD=y;∠AKC=z
Тогда x+y+60∘+z+z=180∘ так как y+z=90∘, имеем x+y=30∘
13) Рассмотрим △ABK. Сумма углов в нем
x+y+z+z+x+∠BKC+z=180∘ Отсюда следует, что
∠BKC=x+y=30∘
14)Подставим [13] в [9]. Получим ∠MKB=150∘+∠BKC=150∘+30∘=180∘. То есть ∠MKB−развёрнутый, то есть прямая, то есть точки M,K,B лежат на одной прямой
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.