Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2008 жыл

Есеп №1. Кез келген

$n$ натурал саны үшін көбейтіндісі толық куб және қосындысы толық квадрат болатын

$n$ әртүрлі натурал сандар табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ABCD$ іштей сызылған төртбұрыштың

$AB$ және

$CD$ қабырғаларының созындылары

$P$ нүктесінде, ал

$BC$ және

$AD$ қабырғаларының созындылары

$Q$ нүктесінде қиылысады.

$AQB$ және

$BPC$ бұрыштарының биссектрисалары төртбұрыштың қабырғаларымен қиылысу нүктелері ромбтың төбелері болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Мемлекетте

$n$ қала бар және кейбір екі қалалардың арасында жолдар бар. Кез келген қаладан шыққан жолаушы, жолдармен басқа қалаларға барса және шыққан қалаға қайтып оралса, осы сапарда қалалардың саны (шыққан қаланы қосса есептегенде) әрқашан жұп саны болып табылады. Осы мемлекеттің жолдар санының ең көбісін анықтаңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышында

$AB\ne AC$ .

$BM = CN$ болатындай

$AB$ және

$AC$ қабырғаларынан

$M$ және

$N$ нүктелері сәйкесінше белгіленген.

$AMN$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбері

$ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберімен

$D\ne A$ нүктеде қиылысады.

$DM = DN$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$x,y,z\ge 0$ кез келген нақты сандары үшін

$\dfrac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}{3}\ge xyz+\dfrac{3}{4}|(x-y)(y-z)(z-x)|$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Фибоначчи тізбегі берілген:

${{F}_{1}}={{F}_{2}}=1$ және барлық натурал

$n > 1$ сандары үшін

${{F}_{n+1}}={{F}_{n}}+{{F}_{n-1}}$ .

${{F}_{n}}={{2}^{k}}$ теңдігі үшін

$k$ натурал саны табылатындай барлық

$n$ натурал сандарын табыңыз.
комментарий/решение(1)