Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ Алматы, 2009 год

Дан треугольник $ABC$, в котором $AB\ne AC$. На его сторонах $AB$ и $AC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $BM=CN$ Окружность, описанная около треугольника $AMN$, пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $D$, отличной от $A$. Докажите, что $DM=DN$.

Комментарий/решение

Это простой лемма о воробье, точка $M$ будет серединой дуги $BC$ содержащая точку $А$.

Возьмём середина большей дуги $BC—D' \Rightarrow CD'=BD'$ по условию $CN=BM, BAD'C$ вписанный $\Rightarrow \angle ABD'=\angle D'CA \Rightarrow$ по | признаку $\triangle D'BA=\triangle D'CA \Rightarrow ND'=MD', \angle D'NC= \angle D'MB \Rightarrow \angle D'NA=\angle D'MA \Rightarrow AD'CB$ вписанный а т.к. окружности пересекаются только в двух точках $\Rightarrow D' \equiv D \Rightarrow DM=DN$ так как треуголники равны.