Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ
Алматы, 2009 год

Задача №1.  Докажите, что для любого натурального числа $n$ существует $n$ различных натуральных чисел, произведение которых является полным кубом, а сумма — полным квадратом.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Продолжения сторон $AB$ и $CD$ вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, а продолжения сторон $BC$ и $AD$ — в точке $Q$. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов $AQB$ и $BPC$ со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  В стране есть $n$ городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что если выехать из любого города, совершить путь (по дорогам) по другим городам и снова вернуться в исходный город, то в таком маршруте мы всегда посетим четное количество городов (включая исходный город). Определите наибольшее возможное количество дорог в этой стране.
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Дан треугольник $ABC$, в котором $AB\ne AC$. На его сторонах $AB$ и $AC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $BM=CN$ Окружность, описанная около треугольника $AMN$, пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $D$, отличной от $A$. Докажите, что $DM=DN$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5. Докажите, что для всех действительных чисел $x,y,z\ge 0$ выполнено неравенство $$\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{3}\ge xyz+\frac{3}{4}\vert (x-y)(y-z)(z-x)\vert.$$
комментарий/решение(3)

---

Задача №6.  Дана последовательность Фибоначчи: $F_{1} =F_{2} =1$, $F_{n+1} =F_{n} +F_{n-1} $ для всех натуральных чисел $n > 1$. Определите все натуральные числа $n$, для которых существует натуральное число $k$ такое, что $F_{n} =2^{k}$.
комментарий/решение(1)

---