Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ
Алматы, 2008 год

Задача №1.  Три различных целых числа $a,b,c$ образуют арифметическую прогрессию. Те же числа (возможно в другом порядке) образуют геометрическую прогрессию. Докажите, что $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ делится на 21.
комментарий/решение(3)

---

Задача №2.  Диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$, $M$ — середина отрезка $AE$ и $N$ — середина отрезка $CD$. Известно, что диагональ $BD$ является биссектрисой угла $ABC$. Докажите, что около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность тогда и только тогда, когда около четырехугольника $MBCN$ можно описать окружность.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Докажите, что система уравнений $x^{2}+y=y^{2}+z=z^{2}+x$ имеет бесконечно много решений в действительных числах, для которых числа $x,y,z$ — попарно различны.
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Куб со стороной $n$ разбит перегородками на единичные кубики. Какое наименьшее число перегородок между единичными кубиками нужно удалить, чтобы из каждого кубика можно было добраться хотябы до одной грани куба (при этом сами грани куба остаются на месте)?
комментарий/решение

---