Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ
Алматы, 2008 год
Диагонали AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке E, M — середина отрезка AE и N — середина отрезка CD. Известно, что диагональ BD является биссектрисой угла ABC. Докажите, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность тогда и только тогда, когда около четырехугольника MBCN можно описать окружность.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Если около описанного четырёхугольника MBCN , следует что можно описать окружность около ABCD , то верно и обратное . Положим что около четырехугольников BMCN,BCDA можно описать окружность. Из этого следует следует что ∠BMN=∠BAD , значит требуется доказать что ΔBMN и ΔABD (2) подобны , так как BD биссектриса то ΔBCD и ΔABE подобны. Откуда BMBN=ABBD , BM,BN Медианы соответствующих треугольников . Значит треугольники (2) действительно подобны.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.