Городская олимпиада по математике среди физ-мат школАлматы, 2008 год

Диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$, $M$ — середина отрезка $AE$ и $N$ — середина отрезка $CD$. Известно, что диагональ $BD$ является биссектрисой угла $ABC$. Докажите, что около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность тогда и только тогда, когда около четырехугольника $MBCN$ можно описать окружность.

Комментарий/решение

Пусть имеется треугольник $ABC$ и $BE$ - биссектриса, $M$ - середина $AE$, опишем окружность $\omega$ около $BMC$, если $G \in BE \in \omega$ пусть $E'$ симметричная $E$ отн $G$ тогда $MG || AE'$ тогда $\angle BCM = \angle BGM = \angle BE'A$ тогда $ABCE'$ - вписанный, но тогда $\angle CBE' = \angle ABE' = \angle ACE' $ если $N \in \omega \cap CE'$ откуда $GN || CE$ значит $N$ середина $CE'$.

Заменяя $E'$ на $D$ получаем условие задачи

пишешь на латексе?!

Так что вы все-таки доказываете, в какую сторону утверждение? Рассуждения о подобии треугольников не понятны? Кроме того, откуда вы взяли, что если утверждение верно в одну сторону, то верно и в обратную?