Городская олимпиада по математике среди физ-мат школАлматы, 2008 год

Три различных целых числа $a,b,c$ образуют арифметическую прогрессию. Те же числа (возможно в другом порядке) образуют геометрическую прогрессию. Докажите, что $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ делится на 21.

Комментарий/решение

А что такое в другом порядке?

$a,b,c$, другой порядок это $c,b,a$.

или a,c,b :)

Пусть порядок в геометрической прогрессии a;c;b, тогда c^2=a*b. Из арифметической прогрессии: a=b-d, c=b+d. Используем эти выражения в первой формуле: (b+d)^2=(b-d)*b

b^2+2bd+d^2=b^2-bd

d^2+3bd=0

d+3b=0, d сокращается, так как она не может равняться нулю(числа должны быть различными по условию).

d=-3b

Рассмотрим сумму трёх квадратов:

a^2+b^2+c^2=(b-d)^2+b^2+(b+d)^2=(b-(-3b))^2+b^2+(b+(-3b))^2=(4b)^2+b^2+(-2b)^2=16b^2+b^2+4b^2=21b^2.

Коэффициент показывает делимость на 21.