Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ
Алматы, 2008 жыл
Бір-біріне тең емес a,b,c бүтін сандары арифметикалық прогрессияны құрайды. Дәл осы сандар (мүмкін басқа ретте) геометриялық прогрессияны құрайды. a2+b2+c2 саны 21-ге қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть порядок в геометрической прогрессии a;c;b, тогда c^2=a*b. Из арифметической прогрессии: a=b-d, c=b+d. Используем эти выражения в первой формуле: (b+d)^2=(b-d)*b
b^2+2bd+d^2=b^2-bd
d^2+3bd=0
d+3b=0, d сокращается, так как она не может равняться нулю(числа должны быть различными по условию).
d=-3b
Рассмотрим сумму трёх квадратов:
a^2+b^2+c^2=(b-d)^2+b^2+(b+d)^2=(b-(-3b))^2+b^2+(b+(-3b))^2=(4b)^2+b^2+(-2b)^2=16b^2+b^2+4b^2=21b^2.
Коэффициент показывает делимость на 21.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.