Математикадан 25-ші Балкан олимпиадасы, Охрид, Македония, 2008 жыл
Есеп №1. AC>BC, O — сырттай сызылған шеңбердің центрі, H — биіктіктердің қиылысу нүктесі, ал F нүктесі C нүктесінен түсірілген биіктіктің табаны болатындай сүйірбұрышты қабырғалары әр түрлі ABC үшбұрышы берілген. AB түзуінде A нүктесінен өзге AF=PF орындалатындай P нүктесі берілсін және AC қабырғасының ортасы M нүктесі болсын. PH және BC түзулері X нүктесінде, OM және FX түзулері Y нүктесінде, ал OF және AC түзулері Z нүктесінде қиылысады. F,M,Y,Z нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Келесідей екі шартты қанағаттандыратын оң нақты a1,a2,… сандар тізбегі табылады ма:
i) әрбір натурал n саны үшін a1+a2+…+an≤n2 орындалады;
ii) әрбір натурал n саны үшін 1a1+1a2+…+1an≤2008 орындалады?
комментарий/решение(1)
i) әрбір натурал n саны үшін a1+a2+…+an≤n2 орындалады;
ii) әрбір натурал n саны үшін 1a1+1a2+…+1an≤2008 орындалады?
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Натурал n саны берілсін. Қабырғалары AB=90n+1 және BC=90n+5 болатын ABCD тіктөртбұрышы қабырғаларына параллель болатын бірлік квадраттарға бөлінген. Бірлік квадраттардың төбелерінен тұратын жиынды S деп алайық. S жиынының кем дегенде екі нүктесі арқылы өтетін түзулер саны 4-ке бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Натурал c саны берілсін. a1,a2,… тізбегі келесідей анықталған: әрбір n саны үшін a1=c және an+1=a2n+an+c3. a2k+c3 саны әйтеуір бір бүтін санның m-ші дәрежесі болатындай, k≥1 және m≥2 бүтін сандары табылатындай барлық c сандарын табыңыздар.
комментарий/решение
комментарий/решение