Математикадан 25-ші Балкан олимпиадасы, Охрид, Македония, 2008 жыл

Есеп №1. $ AC > BC $, $O$ — сырттай сызылған шеңбердің центрі, $H$ — биіктіктердің қиылысу нүктесі, ал $ F $ нүктесі $ C $ нүктесінен түсірілген биіктіктің табаны болатындай сүйірбұрышты қабырғалары әр түрлі $ ABC $ үшбұрышы берілген. $ AB $ түзуінде $ A$ нүктесінен өзге $ AF = PF $ орындалатындай $ P $ нүктесі берілсін және $AC$ қабырғасының ортасы $M$ нүктесі болсын. $ PH $ және $ BC $ түзулері $ X $ нүктесінде, $OM$ және $FX$ түзулері $ Y $ нүктесінде, ал $OF$ және $AC$ түзулері $ Z $ нүктесінде қиылысады. $ F, M, Y, Z $ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Келесідей екі шартты қанағаттандыратын оң нақты $ a_1,a_2,\ldots$ сандар тізбегі табылады ма:
i) әрбір натурал $n$ саны үшін $ a_1+a_2+\ldots+a_n\le n^2$ орындалады;
ii) әрбір натурал $n$ саны үшін $ \dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\ldots+\dfrac1{a_n}\le2008$ орындалады?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Натурал $ n $ саны берілсін. Қабырғалары $AB = 90n + 1$ және $BC = 90n + 5$ болатын $ABCD$ тіктөртбұрышы қабырғаларына параллель болатын бірлік квадраттарға бөлінген. Бірлік квадраттардың төбелерінен тұратын жиынды $S$ деп алайық. $S$ жиынының кем дегенде екі нүктесі арқылы өтетін түзулер саны 4-ке бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---

Есеп №4. Натурал $ c $ саны берілсін. $ a_1, a_2, \ldots $ тізбегі келесідей анықталған: әрбір $ n $ саны үшін $ a_1=c$ және $ a_{n+1}=a_n^2+a_n+c^3$. $ a_k^2+c^3$ саны әйтеуір бір бүтін санның $ m$-ші дәрежесі болатындай, $ {k \ge 1}$ және $ {m \ge 2}$ бүтін сандары табылатындай барлық $ c $ сандарын табыңыздар.
комментарий/решение

---