Математикадан 25-ші Балкан олимпиадасы, Охрид, Македония, 2008 жыл

Есеп №1.

$AC > BC$ ,

$O$ — сырттай сызылған шеңбердің центрі,

$H$ — биіктіктердің қиылысу нүктесі, ал

$F$ нүктесі

$C$ нүктесінен түсірілген биіктіктің табаны болатындай сүйірбұрышты қабырғалары әр түрлі

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$AB$ түзуінде

$A$ нүктесінен өзге

$AF = PF$ орындалатындай

$P$ нүктесі берілсін және

$AC$ қабырғасының ортасы

$M$ нүктесі болсын.

$PH$ және

$BC$ түзулері

$X$ нүктесінде,

$OM$ және

$FX$ түзулері

$Y$ нүктесінде, ал

$OF$ және

$AC$ түзулері

$Z$ нүктесінде қиылысады.

$F, M, Y, Z$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Келесідей екі шартты қанағаттандыратын оң нақты

$a_1,a_2,\ldots$ сандар тізбегі табылады ма:
i) әрбір натурал

$n$ саны үшін

$a_1+a_2+\ldots+a_n\le n^2$ орындалады;
ii) әрбір натурал

$n$ саны үшін

$\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\ldots+\dfrac1{a_n}\le2008$ орындалады?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Натурал

$n$ саны берілсін. Қабырғалары

$AB = 90n + 1$ және

$BC = 90n + 5$ болатын

$ABCD$ тіктөртбұрышы қабырғаларына параллель болатын бірлік квадраттарға бөлінген. Бірлік квадраттардың төбелерінен тұратын жиынды

$S$ деп алайық.

$S$ жиынының кем дегенде екі нүктесі арқылы өтетін түзулер саны 4-ке бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №4. Натурал

$c$ саны берілсін.

$a_1, a_2, \ldots$ тізбегі келесідей анықталған: әрбір

$n$ саны үшін

$a_1=c$ және

$a_{n+1}=a_n^2+a_n+c^3$ .

$a_k^2+c^3$ саны әйтеуір бір бүтін санның

$m$ -ші дәрежесі болатындай,

${k \ge 1}$ және

${m \ge 2}$ бүтін сандары табылатындай барлық

$c$ сандарын табыңыздар.
комментарий/решение

результаты