25-я Балканская математическая олимпиадаОхрид, Македония, 2008 год

В остроугольном разностороннем треугольнике $ABC$, со сторонами $AC > BC$, $O$ — центр описанной окружности, $H$ — точка пересечения высот, а точка $F$ — основание высоты из вершины $C$. Пусть $P$ — точка прямой $AB$, отличная от $A$, такая, что $AF = PF$, и пусть $M$ — середина $AC$. Прямые $PH$ и $BC$ пересекаются в точке $X$, прямые $OM$ и $FX$ в точке $Y$, а прямые $OF$ и $AC$ — в точке $Z$. Докажите, что точки $F, M, Y, Z$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Нам достаточно доказать $\angle XFO=90$ которая эквивалентна $\angle BFX = \angle CFO$ или $\angle XFH = \angle OFA$.

Применяя $Теорему$ $Синусов$ для треугольников $OFA$, $OFC$, $XFB$, $XFH$ мы имеем : $$\frac {sin\angle BFX }{sin\angle XFH} =\frac {sin\angle CFO}{sin\angle OFA}$$ и мы знаем $$\angle BFX + \angle XFH =\angle OFA + \angle CFO =90^\circ$$ следовательно $\angle BFX = \angle CFO$ и $\angle XFH = \angle OFA$ что и завершает доказательство