25-я Балканская математическая олимпиадаОхрид, Македония, 2008 год

В остроугольном разностороннем треугольнике $ ABC $, со сторонами $ AC > BC $, $O$ — центр описанной окружности, $H$ — точка пересечения высот, а точка $ F $ — основание высоты из вершины $ C $. Пусть $ P $ — точка прямой $ AB $, отличная от $ A$, такая, что $ AF = PF $, и пусть $M$ — середина $AC$. Прямые $ PH $ и $ BC $ пересекаются в точке $ X $, прямые $OM$ и $FX$ в точке $ Y $, а прямые $OF$ и $AC$ — в точке $ Z $. Докажите, что точки $ F, M, Y, Z $ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Нам достаточно доказать $ \angle XFO=90$ которая эквивалентна $\angle BFX = \angle CFO $ или $\angle XFH = \angle OFA $.

Применяя $Теорему$ $Синусов$ для треугольников $OFA $, $OFC $, $XFB$, $XFH$ мы имеем : $$ \frac {sin\angle BFX }{sin\angle XFH} =\frac {sin\angle CFO}{sin\angle OFA}$$ и мы знаем $$\angle BFX + \angle XFH =\angle OFA + \angle CFO =90^\circ $$ следовательно $\angle BFX = \angle CFO $ и $\angle XFH = \angle OFA $ что и завершает доказательство