25-я Балканская математическая олимпиада
Охрид, Македония, 2008 год

Задача №1.  В остроугольном разностороннем треугольнике $ABC$, со сторонами $AC > BC$, $O$ — центр описанной окружности, $H$ — точка пересечения высот, а точка $F$ — основание высоты из вершины $C$. Пусть $P$ — точка прямой $AB$, отличная от $A$, такая, что $AF = PF$, и пусть $M$ — середина $AC$. Прямые $PH$ и $BC$ пересекаются в точке $X$, прямые $OM$ и $FX$ в точке $Y$, а прямые $OF$ и $AC$ — в точке $Z$. Докажите, что точки $F, M, Y, Z$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Существует ли последовательность положительных действительных чисел $a_1,a_2,\ldots$ удовлетворяющая следующим двум условиям одновременно:
i) $a_1+a_2+\ldots+a_n\le n^2$, для каждого натурального $n$;
ii) $\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\ldots+\dfrac1{a_n}\le2008$, для каждого натурального $n$?
комментарий/решение(1)

---

Задача №3. Пусть $n$ — натуральное число. Прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 90n + 1$ и $BC = 90n + 5$ разбит на единичные квадраты, стороны которых параллельны сторонам $ABCD$. Пусть $S$ — множество всех точек, являющимися вершинами вершинами единичных квадратов. Докажите, что количество прямых, проходящие по крайней мере через две точки $S$, делится на 4.
комментарий/решение

---

Задача №4. Пусть $c$ — натуральное число. Последовательность $a_1, a_2, \ldots$ определена следующим образом: $a_1=c$ и $a_{n+1}=a_n^2+a_n+c^3$, для всех натуральных $n$. Найдите все такие $c$, для которых существуют целые числа ${k \ge 1}$ и ${m \ge 2}$, что число $a_k^2+c^3$ является $m$-ой степенью некоторого целого положительного числа.
комментарий/решение

---