25-я Балканская математическая олимпиада
Охрид, Македония, 2008 год

Задача №1.  В остроугольном разностороннем треугольнике $ ABC $, со сторонами $ AC > BC $, $O$ — центр описанной окружности, $H$ — точка пересечения высот, а точка $ F $ — основание высоты из вершины $ C $. Пусть $ P $ — точка прямой $ AB $, отличная от $ A$, такая, что $ AF = PF $, и пусть $M$ — середина $AC$. Прямые $ PH $ и $ BC $ пересекаются в точке $ X $, прямые $OM$ и $FX$ в точке $ Y $, а прямые $OF$ и $AC$ — в точке $ Z $. Докажите, что точки $ F, M, Y, Z $ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Существует ли последовательность положительных действительных чисел $ a_1,a_2,\ldots$ удовлетворяющая следующим двум условиям одновременно:
i) $ a_1+a_2+\ldots+a_n\le n^2$, для каждого натурального $n$;
ii) $ \dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\ldots+\dfrac1{a_n}\le2008$, для каждого натурального $n$?
комментарий/решение(1)

---

Задача №3. Пусть $ n$ — натуральное число. Прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 90n + 1$ и $BC = 90n + 5$ разбит на единичные квадраты, стороны которых параллельны сторонам $ABCD$. Пусть $S$ — множество всех точек, являющимися вершинами вершинами единичных квадратов. Докажите, что количество прямых, проходящие по крайней мере через две точки $S$, делится на 4.
комментарий/решение

---

Задача №4. Пусть $ c $ — натуральное число. Последовательность $ a_1, a_2, \ldots $ определена следующим образом: $ a_1=c$ и $ a_{n+1}=a_n^2+a_n+c^3$, для всех натуральных $ n $. Найдите все такие $ c $, для которых существуют целые числа $ {k \ge 1}$ и $ {m \ge 2}$, что число $ a_k^2+c^3$ является $ m$-ой степенью некоторого целого положительного числа.
комментарий/решение

---