Математикадан 25-ші Балкан олимпиадасы, Охрид, Македония, 2008 жыл

$AC > BC$, $O$ — сырттай сызылған шеңбердің центрі, $H$ — биіктіктердің қиылысу нүктесі, ал $F$ нүктесі $C$ нүктесінен түсірілген биіктіктің табаны болатындай сүйірбұрышты қабырғалары әр түрлі $ABC$ үшбұрышы берілген. $AB$ түзуінде $A$ нүктесінен өзге $AF = PF$ орындалатындай $P$ нүктесі берілсін және $AC$ қабырғасының ортасы $M$ нүктесі болсын. $PH$ және $BC$ түзулері $X$ нүктесінде, $OM$ және $FX$ түзулері $Y$ нүктесінде, ал $OF$ және $AC$ түзулері $Z$ нүктесінде қиылысады. $F, M, Y, Z$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Нам достаточно доказать $\angle XFO=90$ которая эквивалентна $\angle BFX = \angle CFO$ или $\angle XFH = \angle OFA$.

Применяя $Теорему$ $Синусов$ для треугольников $OFA$, $OFC$, $XFB$, $XFH$ мы имеем : $$\frac {sin\angle BFX }{sin\angle XFH} =\frac {sin\angle CFO}{sin\angle OFA}$$ и мы знаем $$\angle BFX + \angle XFH =\angle OFA + \angle CFO =90^\circ$$ следовательно $\angle BFX = \angle CFO$ и $\angle XFH = \angle OFA$ что и завершает доказательство