Математикадан 22-ші Балкан олимпиадасы, Яссы, Румыния, 2005 жыл

Есеп №1. Сүйірбұрышты $ ABC $ үшбұрышына іштей сзылған шеңбер $ AB $ және $ AC $ қабырғаларын сәйкесінше $ D $ және $ E $ нүктелерінде жанайды. $ ACB $ және $ ABC $ бұрыштарының биссектрисалары $ DE $ түзуін сәйкесінше $ X $ және $ Y $ нүктелерінде қисын және $ Z $ нүктесі $ BC $ қабырғасының ортасы болсын. Дәлелдеңіздер: $ XYZ $ үшбұрышы теңқабырғалы болады тек және тек сонда ғана егер $ \angle A = 60 ^\circ $ болса.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $p^2-p+1$ саны толық куб болатындай барлық $p$ жай сандарын табыңыздар.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. Нақты оң $a,b,c$ сандары берілсін. $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\geq a+b+c+\dfrac{4(a-b)^2}{a+b+c}$ теңсіздігін дәлелдеңіздер. $a,b,c$ қандай мәндерінде теңдік жағдайы орындалады?
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4. $n \geq 2$ бүтін саны берілген. $S$ жиыны келесідей $\{1,2,\dots,n\}$ жиынының ішкі жиыны болсын: $S$ жиынының құрамында бір-бірін бөлетін екі сан және өзара жай екі сан кездеспейді. $S$ жиынының мүмкін ең көп болатын элементтер санын табыңыздар.
комментарий/решение

---