Математикадан 22-ші Балкан олимпиадасы, Яссы, Румыния, 2005 жыл

Есеп №1. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышына іштей сзылған шеңбер

$AB$ және

$AC$ қабырғаларын сәйкесінше

$D$ және

$E$ нүктелерінде жанайды.

$ACB$ және

$ABC$ бұрыштарының биссектрисалары

$DE$ түзуін сәйкесінше

$X$ және

$Y$ нүктелерінде қисын және

$Z$ нүктесі

$BC$ қабырғасының ортасы болсын. Дәлелдеңіздер:

$XYZ$ үшбұрышы теңқабырғалы болады тек және тек сонда ғана егер

$\angle A = 60 ^\circ$ болса.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$p^2-p+1$ саны толық куб болатындай барлық

$p$ жай сандарын табыңыздар.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Нақты оң

$a,b,c$ сандары берілсін.

$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\geq a+b+c+\dfrac{4(a-b)^2}{a+b+c}$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.

$a,b,c$ қандай мәндерінде теңдік жағдайы орындалады?
комментарий/решение(3)

Есеп №4.

$n \geq 2$ бүтін саны берілген.

$S$ жиыны келесідей

$\{1,2,\dots,n\}$ жиынының ішкі жиыны болсын:

$S$ жиынының құрамында бір-бірін бөлетін екі сан және өзара жай екі сан кездеспейді.

$S$ жиынының мүмкін ең көп болатын элементтер санын табыңыздар.
комментарий/решение

результаты