қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Найдите все целые неотрицательные решения уравнения $xy-x+y=2006.$
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Задача №2. Трапеция $ABCD$ с $AB \parallel CD$ имеет стороны $AB=8$, $BC=5$, $CD=4$ и $AD=3$. Найдите площадь треугольника $CDE$, где $E$ — точка пересечения биссектрис углов $ADC$ и $BCD$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Докажите, что если $b>2ac$, то уравнение $ax^2+bx+c=0$ с натуральными
коэффициентами $a$, $b$, $c$ может иметь только иррациональные корни.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Треугольник $ABC$ имеет $\angle B=60^\circ $, $\angle C=90^\circ $ и $AB=1$. Треугольники $BCP$, $CAQ$ и $ABR$ — равносторонние, внешние к $ABC$. Отрезки $QR$ и $AB$ пересекаются в точке $T$. Найдите площадь треугольника $PRT$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины. Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков,
что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)