Районная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 9 класс
Комментарий/решение:
Система по теореме косинусов
$ 73-48cos \angle A = 41-40cos \angle C$
$25+24cos \angle A = 89+80cos \angle C $
$\angle A=90^{\circ};\angle C=arccos(-\dfrac{4}{5})$
Пусть биссектриса $\angle C$ пересекает $AD$ в точке $G$ , тогда $DG=4 \cdot tg(-arccos(\dfrac{4}{5}))=12$, найдя биссектрису $DE=3\sqrt{2}$, тогда $S_{CDE}=\dfrac{3\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \sin \ 45^{\circ}}{2}=6$
$D$ бұрышынан шыққан биссектриса $AB$ қабырғасын $K$ нүктесінде, ал $C$ төбесінен шыққан биссектриса $AB$ қабырғасын $L$ нүктесінде қиып өтсін
$K$ және $L$ $AB$ қабырғасына тиісті
$$\angle DCL=\angle LCB=\angle CLB$$
$\triangle LBC$ тең бүйірлі. $CB=BL=5.$
Аналогично $\triangle ADK$ теңбүйірлі. $AD=AK=3$
$AK+BL=8=AB$ болғандықтан $K$ және $L$ нүктелері $AB$ қабырғасында бір бірімен беттеседі.
$DH$ және $CM$ биіктігін түсіреміз. Екі биіктік трапеция ішіне түссін. Сыртына түсетін жағдайы аналогично.
$AH=x$ болса, $BM=4-x$ болады.
$DH=CM$
$DH^2=3^2-x^2$
$CM^2=5^2-(4-x)^2$
Соңғы екі теңдікті теңестіріп $x=0$ екенін аламыз. Сонда $AH=0$. Яғни $A$ мен $H$ нүктелері
беттеседі, трапеция тік бұрышты болады. $CDE$ үшбұрышының ауданы келесідей болады
$$S=\frac{4*3}{2}=6$$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.