Математикадан аудандық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 9 сынып

$ABCD$ трапециясында $AB \parallel CD$, ал қабырғалары $AB=8$, $BC=5$, $CD=4$ және $AD=3$. Егер $E$ — $ADC$ және $BCD$ бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі болса, $CDE$ үшбұрышының ауданын тап.

Комментарий/решение

Система по теореме косинусов

$73-48cos \angle A = 41-40cos \angle C$

$25+24cos \angle A = 89+80cos \angle C$

$\angle A=90^{\circ};\angle C=arccos(-\dfrac{4}{5})$

Пусть биссектриса $\angle C$ пересекает $AD$ в точке $G$ , тогда $DG=4 \cdot tg(-arccos(\dfrac{4}{5}))=12$, найдя биссектрису $DE=3\sqrt{2}$, тогда $S_{CDE}=\dfrac{3\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \sin \ 45^{\circ}}{2}=6$

$D$ бұрышынан шыққан биссектриса $AB$ қабырғасын $K$ нүктесінде, ал $C$ төбесінен шыққан биссектриса $AB$ қабырғасын $L$ нүктесінде қиып өтсін

$K$ және $L$ $AB$ қабырғасына тиісті

$$\angle DCL=\angle LCB=\angle CLB$$

$\triangle LBC$ тең бүйірлі. $CB=BL=5.$

Аналогично $\triangle ADK$ теңбүйірлі. $AD=AK=3$

$AK+BL=8=AB$ болғандықтан $K$ және $L$ нүктелері $AB$ қабырғасында бір бірімен беттеседі.

$DH$ және $CM$ биіктігін түсіреміз. Екі биіктік трапеция ішіне түссін. Сыртына түсетін жағдайы аналогично.

$AH=x$ болса, $BM=4-x$ болады.

$DH=CM$

$DH^2=3^2-x^2$

$CM^2=5^2-(4-x)^2$

Соңғы екі теңдікті теңестіріп $x=0$ екенін аламыз. Сонда $AH=0$. Яғни $A$ мен $H$ нүктелері

беттеседі, трапеция тік бұрышты болады. $CDE$ үшбұрышының ауданы келесідей болады

$$S=\frac{4*3}{2}=6$$