Районная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найдите все целые неотрицательные решения уравнения

$xy-x+y=2006.$
комментарий/решение(9)

Задача №2. Трапеция

$ABCD$ с

$AB \parallel CD$ имеет стороны

$AB=8$ ,

$BC=5$ ,

$CD=4$ и

$AD=3$ . Найдите площадь треугольника

$CDE$ , где

$E$ — точка пересечения биссектрис углов

$ADC$ и

$BCD$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. Что больше

$79^{26}$ или

$244^{21}$ , и почему?
комментарий/решение(1)

Задача №4. Докажите, что если

$b>2ac$ , то уравнение

$ax^2+bx+c=0$ с натуральными коэффициентами

$a$ ,

$b$ ,

$c$ может иметь только иррациональные корни.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Треугольник

$ABC$ имеет

$\angle B=60^\circ$ ,

$\angle C=90^\circ$ и

$AB=1$ . Треугольники

$BCP$ ,

$CAQ$ и

$ABR$ — равносторонние, внешние к

$ABC$ . Отрезки

$QR$ и

$AB$ пересекаются в точке

$T$ . Найдите площадь треугольника

$PRT$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины. Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов.
комментарий/решение(2)