Районная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найдите все целые неотрицательные решения уравнения

x y - x + y = 2006.

$xy-x+y=2006.$
комментарий/решение(9)

Задача №2. Трапеция

A B C D

$ABCD$ с

A B ∥ C D

$AB \parallel CD$ имеет стороны

A B = 8

$AB=8$ ,

B C = 5

$BC=5$ ,

C D = 4

$CD=4$ и

A D = 3

$AD=3$ . Найдите площадь треугольника

C D E

$CDE$ , где

E

$E$ — точка пересечения биссектрис углов

A D C

$ADC$ и

B C D

$BCD$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. Что больше

79^{26}

$79^{26}$ или

244^{21}

$244^{21}$ , и почему?
комментарий/решение(1)

Задача №4. Докажите, что если

b > 2 a c

$b>2ac$ , то уравнение

a x^{2} + b x + c = 0

$ax^2+bx+c=0$ с натуральными коэффициентами

a

$a$ ,

b

$b$ ,

c

$c$ может иметь только иррациональные корни.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Треугольник

A B C

$ABC$ имеет

∠ B = 60^{\circ}

$\angle B=60^\circ$ ,

∠ C = 90^{\circ}

$\angle C=90^\circ$ и

A B = 1

$AB=1$ . Треугольники

B C P

$BCP$ ,

C A Q

$CAQ$ и

A B R

$ABR$ — равносторонние, внешние к

A B C

$ABC$ . Отрезки

Q R

$QR$ и

A B

$AB$ пересекаются в точке

T

$T$ . Найдите площадь треугольника

P R T

$PRT$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины. Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов.
комментарий/решение(2)