қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 10 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $x$, $y$, $z$ — нақты сандары $x\ge \frac{1}{2}$, $y\ge \frac{1}{2}$, $z\ge \frac{1}{2}$ теңсіздіктерін және $xyz=1$ теңдігін қанағаттандырады. Онда $3+x+y+z\le 2\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)$ теңсіздігі орындалатынын дәледеңіз.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №2. ${{a}^{5}}={{a}^{3}}bc+{{b}^{2}}c$ теңдеуін $a$, $b$, $c$ бүтін сандар жиынында шешіңіз.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. Тіктөртбұрыш үшбұрышқа іштей сызылған деп аталады, егер тіктөртбұрыштың барлық төбелері үшбұрыш қабырғаларында жатса. Берілген сүйір бұрышты үшбұрышқа іштей сызылған барлық тіктөрбұрыштардың центрлерінің (диагональдардың қиылысу нүктесі) геометриялық жиынтығы бір нүктеде қиылысатын үш тұйықталмаған түзу екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $n$ натурал сан болсын. ${{P}_{k}}\left( n \right)$ деп $n$ санының $k$ санына бөлінетін бөлгіштерінің көбейтіндісін белгілейік (бос көбейтінді 1-ге тең). ${{P}_{1}}\left( n \right)\cdot {{P}_{2}}\left( n \right)\cdot \ldots \cdot {{P}_{n}}\left( n \right)$ көбейтіндісі натурал санның квадраты болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $\left( 1,2,\ldots ,n \right)$ жиынының ${{x}_{i}} < {{x}_{i+2}}$ ($1\le i\le n-2$ үшін) және ${{x}_{i}} < {{x}_{i+3}}$ ($1\le i\le n-3$ үшін) шарттары орындалатындай барлық $\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}} \right)$ ауыстырылымдарының санын табыңыз. Бұл жерде $n\ge 4$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $ABC$ үшбұрышында $\angle ABC={{30}^{{}^\circ }}$, $AB > AC$ және $\angle BAC$ — доғал. Осы үшбұрыш ішінен $BD=CD$ және $\angle BDA=3\angle BCA$ болатындай етіп $D$ нүктесі алынған. $\angle ACD$ табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)