Областная олимпиада по математике, 2015 год, 10 класс

Пусть $n$ — натуральное число. Через $P_k(n)$ обозначим произведение всех его делителей, кратных $k$ (пустое произведение равно 1). Докажите, что произведение $P_1(n)\cdot P_2(n)\cdot \dots \cdot P_n(n)$ является квадратом некоторого натурального числа.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Рассмотрим все делители числа $n$: $$1={{d}_{1}} < {{d}_{2}} < \ldots < {{d}_{s}}=n.$$ Каждый из этих делителей входит в одно или несколько произведений ${{P}_{k}}(n)$. Если делитель числа $n$ является полным квадратом, то все его вхождения в общем произведении ${{P}_{1}}(n)\cdot {{P}_{2}}(n)\cdot \ldots \cdot {{P}_{n}}(n)$ дают тоже полный квадрат. Если делитель числа $n$ не является полным квадратом, то в его разложении в произведение степеней простых множителей $d=q_{1}^{{{\alpha }_{1}}}\cdot q_{2}^{{{\alpha }_{2}}}\cdot \dots \cdot q_{m}^{{{\alpha }_{m}}}$ хотя бы одна степень будет нечетной, тогда число различных делителей числа $d$ равно $({{\alpha }_{1}}+1)({{\alpha }_{2}}+1)\ldots({{\alpha }_{m}}+1)$ — четному числу. Заметим, что число вхождений делителя $d$ в общем произведении ${{P}_{1}}(n)\cdot {{P}_{2}}(n)\cdot \ldots \cdot {{P}_{n}}(n)$ равно числу его различных делителей, то есть четному числу. Тогда произведение всех вхождений числа $d$ в общем произведении является полным квадратом. Тогда общее произведение ${{P}_{1}}(n)\cdot {{P}_{2}}(n)\cdot \ldots \cdot {{P}_{n}}(n)$ также является полным квадратом.