Областная олимпиада по математике, 2015 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Пусть

$x,y,z$ — действительные числа, для которых справедливы соотношения

$x \geq \dfrac{1}{2}$ ,

$y \geq \dfrac{1}{2}$ ,

$z \geq \dfrac{1}{2}$ и

$xyz=1$ . Докажите неравенство

$3 + x + y + z \leq 2\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right).$
комментарий/решение(4)

Задача №2. Решите уравнение

$a^5=a^3bc+b^2c$ в целых числах

$a,b,c$ .
комментарий/решение(3)

Задача №3. Прямоугольник вписан в треугольник, если все его вершины лежат на сторонах треугольника. Докажите, что геометрическим местом центров (точек пересечения диагоналей) всех вписанных в данный остроугольный треугольник прямоугольников являются три пересекающихся в одной точке незамкнутых отрезка.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть

$n$ — натуральное число. Через

$P_k(n)$ обозначим произведение всех его делителей, кратных

$k$ (пустое произведение равно 1). Докажите, что произведение

$P_1(n)\cdot P_2(n)\cdot \dots \cdot P_n(n)$ является квадратом некоторого натурального числа.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите количество перестановок

$(x_1,x_2,\dots,x_n)$ набора

$(1,2,\dots,n)$ , удовлетворяющих условиям

$x_i< x_{i+2}$ при

$1 \leq i \leq n-2$ ,

$x_i< x_{i+3}$ при

$1 \leq i \leq n-3$ . Здесь

$n \geq 4$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. В треугольнике

$ABC$ известно, что

$\angle ABC = 30 ^\circ$ ,

$AB >AC$ и

$\angle BAC$ — тупой. Внутри этого треугольника выбрана такая точка

$D$ , что

$BD=CD$ и

$\angle BDA=3\angle BCA$ . Найдите угол

$ACD$ .
комментарий/решение(2)