Решения: Республиканская олимпиада, Областной этап

Областная олимпиада по математике, 2015 год, 10 класс

Прямоугольник вписан в треугольник, если все его вершины лежат на сторонах треугольника. Докажите, что геометрическим местом центров (точек пересечения диагоналей) всех вписанных в данный остроугольный треугольник прямоугольников являются три пересекающихся в одной точке незамкнутых отрезка.

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. Пусть $ABC$ — рассматриваемый треугольник. Обозначим через $C_1$ — середину стороны $AB$ , $C_2$ — основание высоты из вершины $C$ и $C_3$ — середину отрезка $CC_2$ . Аналогично определим точки $A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3$ .

Из четырёх вершин прямоугольника какие-то две лежат на одной стороне. Пусть это прямоугольник

$PQRS$ , где точки

$P$ и

$S$ лежат на отрезке

$AB$ (см. рис. выше). Так как

$APQ$ и

$AC_2C$ — прямоугольные подобные треугольники, то отрезок

$AC_3$ делит отрезок

$PQ$ пополам. Аналогично,

$BC_3$ делит

$RS$ пополам. Пусть

$M$ и

$N$ — середины отрезков

$PQ$ и

$RS$ . Так как расстояния от точек

$R$ и

$Q$ до

$AB$ равны, то расстояния от точек

$M$ и

$N$ до

$AB$ также равны, то есть

$MN \parallel AB$ . Следовательно,

$C_1C_3$ делит

$MN$ пополам. А это значит, центр

$PQRS$ лежит на отрезке

$C_1C_3$ .
Нетрудно доказать, что для любой точки отрезка

$C_1C_3$ существует вписанный прямоугольник, центр которого совпадает с данной точкой. Чтобы построить такой прямоугольник, нужно опустить перпендикуляр из этой точки на

$AB$ , основание этого перпендикуляра отобразить относительно этой же точки, и через эту точки провести отрезок, параллельный к

$AB$ , концы которого лежат на сторонах

$AC$ и

$BC$ , и от этих концов опустить перпендикуляры на

$AB$ . Так как эта точка будет располагаться ближе к

$AB$ чем точка

$C_3$ , то такой искомый прямоугольник существует.
Для завершения решения задачи осталось показать, что все отрезки

$C_1C_3$ ,

$A_1A_3$ и

$B_1B_3$ пересекаются в одной точке. Это легко следует из теоремы Чевы, так как:

$\dfrac{{{A_1}{C_3}}}{{{C_3}{B_1}}} \cdot \dfrac{{{B_1}{A_3}}}{{{A_3}{C_1}}} \cdot \dfrac{{{C_1}{B_3}}}{{{B_3}{A_1}}} = \dfrac{{B{C_2}}}{{{C_2}A}} \cdot \dfrac{{A{B_2}}}{{{B_2}C}} \cdot \dfrac{{C{A_2}}}{{{A_2}B}} = 1$