қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 8 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Решите уравнение ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2015$ в целых числах.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Пусть $a\leq b\leq c$ — действительные числа. Докажите неравенство ${{c}^{2}}-{{b}^{2}}+{{a}^{2}}\geq {{\left( c-b+a \right)}^{2}}.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть $M,~N,~K$ — середины сторон $AB,~BC,~CA$ треугольника $ABC$, соответственно. На отрезке $MN$ выбрана точка $P$, а на отрезке $NK$ — точка $Q$. Возможно ли одновременное выполнение соотношений $AP+AQ=BC$ и $BQ+CP=AB+AC$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Натуральные числа от 1 до 30 000 выписаны по порядку: $123456789101112 \dots 2999930000.$ Сколько раз в этой последовательности цифр встречается комбинация 2015 (именно в этом порядке)?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. В каждой клетке прямоугольной таблицы стоит действительное число, причем в таблице нет одинаковых чисел. В каждой строке выбрано наибольшее число, $A$ — наименьшее из них. В каждом столбце выбрано наименьшее число, $B$ — наибольшее из них. Сравните числа $A$ и $B$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. На плоскости даны прямая $l$ и отрезок $s$, лежащий на прямой, параллельной $l$. Используя только линейку без делений, постройте середину отрезка $s$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)