Математикадан аудандық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 8 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2015$ теңдеуін бүтін сандар жиынында шешіңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$a\le b\le c$ — нақты сандар болсын.

${{c}^{2}}-{{b}^{2}}+{{a}^{2}}\ge {{\left( c-b+a \right)}^{2}}$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$M, N, K$ — нүктелері

$ABC$ үшбұрышының сәйкесінше

$AB, BC, CA$ қабырғаларының орталары болсын.

$MN$ және

$NK$ кесінділерінен сәйкесінше

$P$ және

$Q$ нүктелері алынған.

$AP+AQ=BC$ және

$BQ+CP=AB+AC$ қатынастарының бір уақытта орындалуы мүмкін бе?
комментарий/решение(1)

Есеп №4. 1-ден 30 000-ға дейінгі натурал сандар ретпен жазылған: 123456789101112…2999930000. Осы цифрлар тізбегінде 2015 (осындай ретпен) қанша рет кездеседі?
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Тіктөртбұрыш кестенің әрбір бірлік шаршысында нақты сан жазылған, және кестеде бірдей сан жоқ. Әрбір жолда ең үлкен сан таңдалған,

$A$ — осы таңдалған сандардың ең кішісі. Әрбір бағанада ең кіші сан таңдалған,

$B$ — осы таңдалған сандардың ең үлкені.

$A$ және

$B$ саңдарын салыстырыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Жазықтықта

$l$ түзуі, және

$l$ түзуіне параллель түзуде жататын

$s$ кесіндісі берілген. Өлшемі жоқ сызғыштың ғана көмегімен

$s$ кесіндісінің ортасын салыңыз.
комментарий/решение(1)